2023　会津大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^1}(2x+1)\log (x+1)\mathit{dx}=\text{イ}$

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{2}}^1}{x}^{-2}{e}^{\frac{1}{x}}\mathit{dx}=\text{ロ}$

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　次の積分を求めよ．

(ⅲ)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sin 3x\cos 2x\mathit{dx}=\text{ハ}$

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{2^2}+\sqrt[n]{2^3}$$+\cdots +\sqrt[n]{2^n})$を求めよ．$\text{ニ}$

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　関数$F(x)={\displaystyle {\int }_1^{e^x}}{(\log t)}^3\mathit{dt}$に対して，$F^{\prime }(x)$を求めよ．$\text{ホ}$

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　方程式${\log }_3(x^2-1)$$={\displaystyle \frac{6}{{\log }_{x}3}}$$+{\log }_3{\displaystyle \frac{1}{x^2(x^2+2)}}$を解け．$\text{ヘ}$

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^2+x}}=3$と$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^2-x}}=5$をともに満たす$2$次関数$f(x)$を求めよ．$\text{ト}$

【１】　以下の問いに答えよ．

(6)　$z^4=-8+8\sqrt{3}i$の解のうち実部が負で虚部が正のものを求めよ．ただし$i$は虚数単位である．$\text{チ}$

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$がある．$u$を$0<u<1$をみたす実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$u:1-u$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$u:1-u$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{OE}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$を$u:1-u$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{CB}$を$u:1-u$に内分する点を$\mathrm{G}$とし，線分$\mathrm{OG}$と線分$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$u$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{イ}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$u$のうち必要なものを用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\text{ロ}$である．

(3)　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$がすべて単位ベクトルで，どの$2$つも直交しているとする．このとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$は$u=\text{ハ}$で最大値$\text{ニ}$をとる．

【３】　袋に$9$枚のカードが入っており，それらのカードには$1$から$9$までの整数が$1$枚につき$1$つ書かれている．ただし，$2$枚以上のカードに同じ整数が書かれていないものとする．この袋から$2$枚のカードを同時に取り出し空の箱$\mathrm{A}$に入れる．次に残った$7$枚のカードから$3$枚のカードを同時に取り出し空の箱$\mathrm{B}$に入れる．最後に残った4枚のカードを空の箱$\mathrm{C}$に入れる．以下の空欄をうめよ．

(1)　箱$\mathrm{A}$に偶数が書かれたカードが$1$枚と奇数が書かれたカードが$1$枚入り，箱$\mathrm{B}$に偶数が書かれたカードが$1$枚と奇数が書かれたカードが$2$枚入る確率は$\text{イ}$である．

(2)　箱に入ったカードの整数の積が，どの箱でも偶数になる確率は$\text{ロ}$である．

(3)　箱$\mathrm{A}$に入ったカードの整数の和と，箱$\mathrm{B}$に入ったカードの整数の和と，箱$\mathrm{C}$に入ったカードの整数の和がすべて等しくなる確率は$\text{ハ}$である．

(4)　箱に入ったカードの整数の積が，どの箱でも偶数であったときに，箱$\mathrm{A}$に入ったカードの整数の和と，箱$\mathrm{B}$に入ったカードの整数の和と，箱$\mathrm{C}$に入ったカードの整数の和がすべて等しくなる確率は$\text{ニ}$である．

【４】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=S_n+{(n+1)}^2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$a_{n+1}$を$a_n$と$n$の式で表すと$a_{n+1}=\text{イ}$である．

(2)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表すと$b_{n+1}=\text{ロ}$である．

(3)　$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=\text{ハ}$である．

(4)　$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=\text{ニ}$である．

【５】　$n$を自然数とする．$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^n}{e^x}}=0$がなりたつことを以下の手順で示そう．

(1)　すべての実数$t$に対して不等式$e^t>t$がなりたつことを示せ．

(2)　(1)の不等式において，$t$に適当な$x$と$n$の式を代入することにより，次を示せ：

「すべての正の実数$x$に対して不等式$e^x>{\left({\displaystyle \frac{x}{n+1}}\right)}^{n+1}$がなりたつ．」

(3)　(2)の結果を用いて，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^n}{e^x}}=0$がなりたつことを示せ．

【６】　数列$\{a_n\}$が，

$a_1=0\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}=a_n+{\displaystyle \frac{4}{n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ．