2023　会津大学　推薦MathJax

【１】　以下の空欄をうめよ．

(1)　次の等式

${\displaystyle {\int }_3^x}f(t)\mathit{dt}=x^2+ax-3$

を満たす関数$f(t)$と定数$a$の値を求めると，$f(t)=\text{イ}\text{，}$$a=\text{ロ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，不等式$\cos 2\theta -\sin \theta <0$を解くと$\text{ハ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(3)　$3$点$(7,10)\text{，}$$(9,8)\text{，}$$(-1,8)$を通る円の方程式を求めると$\text{ニ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(4)　$1$時間ごとに$1$回分裂して$2$倍の個数に増えていく細菌がある．この細菌$2$個が分裂を開始して$1$億個を超えるのは$\text{ホ}$時間後である．ただし，$1$回目の分裂は$1$時間後と数え，${\log }_{10}2=0.3010$とし，答えは整数で求めよ．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(5)　方程式$8^x+16\cdot 2^x=7\cdot 4^x+12$の解は$x=\text{ヘ}$である．

【１】　以下の空欄をうめよ．

(6)　$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=2a_n-1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めると$a_n=\text{ト}$である．

【２】　$3$個のサイコロを順に一回ずつ投げ，出た目によって次のように得点を決める．

・$3$個のサイコロがすべて同じ目$a$を出したとき，$a$を得点とする．

・$2$個のサイコロが同じ目$a$を出し，もう$1$個のサイコロがそれとは異なる目$b$を出したとき，$a$を得点とする．

・$3$個のサイコロがすべて異なる目を出したとき，$2$番目に大きい目を得点とする．

以下の空欄をうめよ．

(1)　得点が$6$になる確率を求めると$\text{イ}$である．

(2)　得点が$3$になる確率を求めると$\text{ロ}$である．

(3)　得点が$2$だったとき，サイコロの目がすべて異なる確率を求めると$\text{ハ}$である．

【３】　$a$を正の定数とする．関数$y=x{(x-a)}^2$のグラフを$C$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　原点における$C$の接線$l$の方程式を求めると$\text{イ}$である．

(2)　$C$と$l$の原点以外の共有点$\mathrm{P}$の座標を求めると$\text{ロ}$である．

(3)　線分$\mathrm{OP}$と$C$で囲まれた部分の面積を求めると$\text{ハ}$である．

【４】　右のような一辺の長さ$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とするとき，以下の空欄をうめよ．

(1)　$\mathrm{BP}:\mathrm{PD}=t:1-t$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$を用いて表すと$\text{イ}$である．

(2)　$\mathrm{CP}:\mathrm{PE}=s:1-s$とおいて，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s$を用いて表すと$\text{ロ}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと$\text{ハ}$である．

(4)　$\mathrm{▵PCD}$の面積を求めると$\text{ニ}$である．