2023　高崎経済大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(1)　$xy$平面上の曲線$y=x^3-4x$上の点$(-1,3)$における，この曲線の接線の方程式を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(2)　生徒$16$人のクラスで$40$点満点の漢字のテストを行ったところ，得点の平均値は$20$(点)，標準偏差は$2$(点)であった．各生徒の得点を$2.5$倍して$100$点満点に換算したとき，換算後の平均値と標準偏差を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(3)　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$とする．$9{\cos }^2\theta -6\cos \theta =-1$のとき，$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(4)　$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{I}$の$7$個の文字全部を$1$列に並べる順列の総数を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．なお，解答は答えのみでよい．

(5)　$\sqrt{{\displaystyle \frac{540}{n}}}$が自然数になるような自然数$n$をすべて求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は正の実数で，$a\ne 1\text{，}$$b\ne 1\text{，}$$c\ne 1$とする．このとき，

${\log }_{a}b={\displaystyle \frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　$xy$平面上に，次の不等式の表す領域を図示せよ．

$4^{{\log }_{2}x}+{\log }_8{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x+2^{{\log }_{2}y-{\log }_{2}3}<0$

【３】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．辺$\mathrm{OA}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{OP}$と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵OAQ}$の面積を$S_1\text{，}$$\mathrm{▵OQB}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．

【４】　$xy$平面において，曲線$C\text{：}y=-x(x-5)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．また，点$\mathrm{A}$$(5,0)$を通り，傾きが$m$の直線$l$と，曲線$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とする．ただし，$-5<m<0$とする．次の各問に答えよ．

(1)　面積$S$を求めよ．

(2)　直線$l$と曲線$C$との交点で，点$\mathrm{A}$とは異なるものを点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．

(3)　面積$S_1$を$m$を用いて表せ．

(4)　面積$S_1$が面積$S$の${\displaystyle \frac{1}{2}}$倍となるとき，傾き$m$の値を求めよ．