2023　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n={\displaystyle \frac{1}{6}}(2n^3+9n^2+7n)$

で与えられている．また，一般項が$b_n=a_n\sin {\displaystyle \frac{n}{2}}\pi$で表される数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　一般項$a_n$を$n$を用いて表しなさい．

(2)　$T_4$の値を求めなさい．

(3)　$m$を自然数とするとき，$T_{4m}$を$m$を用いて表しなさい．

(4)　$T_{4m+1}>2451$を満たす最小の自然数$m$の値を求めなさい．

【２】　$k$を$0<k<1$を満たす定数とする．$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$k:(1-k)$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．また，$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が定める平面と，直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表しなさい．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$k$を用いて表しなさい．

(4)　点$\mathrm{G}$が辺$\mathrm{BC}$（両端を除く）上にあることを示しなさい．

(5)　$\overrightarrow{\mathrm{DG}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$となる$k$の値を求めなさい．

【３】　$a$を$a>0$を満たす定数とする．$2$つの関数

$f(x)=\sqrt{|x-a|}$$\text{（}x\geqq 0\text{），}$$g(x)=|\sqrt{x}-\sqrt{a}|\text{（}x\geqq 0\text{）}$

について，次の問いに答えなさい．

(1)　${\{f(x)\}}^4-{\{g(x)\}}^4$を計算することにより，$x\geqq 0$のとき$f(x)\geqq g(x)$が成り立つことを示しなさい．また，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値をすべて求めなさい．

(2)　座標平面において，不等式$0\leqq x\leqq 2a\text{，}$$g(x)\leqq y\leqq f(x)$の表す領域の面積$S$を$a$を用いて表しなさい．

【４】　$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)=(x^7-3x^3)e^{-\frac{x^4}{4}}$について，次の問いに答えなさい．

(1)　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^{\sqrt[4]{3}}}f(x)\mathit{dx}$の値を求めなさい．

(2)　$f^{\prime }(x)=0$を満たす実数$x$の値をすべて求めなさい．

(3)　関数$y=f(x)$の増減を調べて，そのグラフの概形をかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてもよい．また，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$であることと$e<3$であることは証明せずに用いてもよい．