2023　東京都立大　前期MathJax

【１】　$a$を$0<a<1$をみたす実数とし，

$f(x)={\displaystyle \frac{10a}{a+2}}\log x+2\log (1-x)$$\text{（}0<x<1\text{）}$

とする．ただし，$\log$は自然対数とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$y=f(x)$$\text{（}0<x<1\text{）}$が極大になる$x$がただ$1$つ存在することを示し，その$x$を$a$を用いて表しなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$を以下のように定める．$a_1={\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．$a=a_n$としたとき$x$の関数$y=f(x)$$\text{（}0<x<1\text{）}$が極大になる$x$の値を$a_{n+1}$とする．このとき$a_2$の値を求めなさい．

(3)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおく．数列$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(4)　数列$\{a_n\}$の収束，発散を調べ，収束するときにはその極限値を求めなさい．

【２】　関数

$f(\theta )=2\sin 3\theta -3\sin \theta +3\sqrt{3}\cos \theta$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$を$r\sin (\theta +\alpha )$$\text{（}r>0\text{，}$$-\pi \leqq \alpha <\pi \text{）}$の形に変形しなさい．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき$\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$の最大値と最小値を求め，そのときの$\theta$の値をそれぞれ求めなさい．

(3)　$x=\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$とおく．$\sin \{3(\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\left)\right\}=3\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)-4{\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)}^3$であることを示しなさい．

(4)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき$f(\theta )$の最大値と最小値を求め，そのときの$\theta$の値をそれぞれすべて求めなさい．

【３】　座標空間内に$4$点$\mathrm{A}$$(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,2,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(2,2,1)$がある．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線を$l$とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．

・点$\mathrm{A}$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．すなわち線分$\mathrm{PQ}$の中点が$\mathrm{A}$である．

・直線$l$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．すなわち$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}$を通る直線が$l$と垂直であり，線分$\mathrm{PR}$の中点が$l$上にある．

・平面$\alpha$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{S}$とする．すなわち$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{S}$を通る直線が$\alpha$と垂直であり，線分$\mathrm{PS}$の中点が$\alpha$上にある．

　このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{S}$の座標を求めなさい．

(4)　$\mathrm{▵QRS}$の面積を求めなさい．

【１】　関数$f(x)$と定数$C$が

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}+{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)\sin (x+t)\mathit{dt}=x+C$

をみたすとする．以下の問いに答えなさい．

(1)　定数$a\text{，}$$b$を

$a={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)\sin t\mathit{dt}\text{，}$$b={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(t)\cos t\mathit{dt}$

とするとき，関数$f(x)$を$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

(2)　定数$a\text{，}$$b$の値，および関数$f(x)$を求めなさい．

(3)　定数$C$の値を求めなさい．

【２】　$i$を虚数単位とする．複素数$z$が$z\ne 1$をみたすとき，$g(z)={\displaystyle \frac{2z+4i}{z-1}}$とする．以下の問いに答えなさい．ただし，複素数の値を答えるとき，答えが実数でも純虚数でもない場合は$a+bi$$\text{（}a\text{，}$$b$は実数）の形にすること．

(1)　$g(u)=-3$となる複素数$u$を求めなさい．

(2)　$g(v)=1-i$となる複素数$v$を求めなさい．

(3)　複素数$z$が$\left|z\right|=1$かつ$z\ne 1$をみたし，$w=g(z)$の実部が$2$となるとする．このとき$w$を求めなさい．

【３】　$\alpha =2+\sqrt{3}\text{，}$$b=2-\sqrt{3}$とし，数列$\{x_n\}$を

$x_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\alpha -\beta }}$

と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)　$x_2\text{，}$$x_3$の値を求めなさい．

(2)　すべての自然数$r\text{，}$$s$に対して，

$x_{r+s+1}=x_{r+1}{x}_{s+1}-x_r{x}_s$

が成り立つことを示しなさい．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$x_n$と$x_{n+1}$がともに整数であることを数学的帰納法で示しなさい．

(4)　$m$を$2$以上の自然数とする．すべての自然数$n$に対して，$x_{mn}$が$x_m$の倍数であることを，$n$に関する数学的帰納法で示しなさい．

【１】　三角形の$3$つの頂点からそれぞれの対辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線の交点を，この三角形の垂心という．$\mathrm{▵OAB}$の垂心と内心をそれぞれ$\mathrm{H}$と$\mathrm{I}$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=3\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

が成り立つとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表しなさい．

【２】　次のように定められた数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}=6a_{n+1}-9a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えなさい．

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-3a_n$と定める．$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【３】　実数$t$が$0<t<1$をみたすとする．座標平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(\sqrt{t},t)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,-t+1)$を考える．以下の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{OC}=\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$となる点$\mathrm{C}$の座標を$t$を用いて表しなさい．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る円の面積$S(t)$を求めなさい．

(3)　実数$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値を求めなさい．また，そのときの$t$の値を求めなさい．

【４】　座標平面上の点${\mathrm{A}}_n$$(x_n,y_n)$$\text{（}n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{）}$を以下のように定める．${\mathrm{A}}_0$は原点$\mathrm{O}$$(0,0)$とする．${\mathrm{A}}_n$（ただし$n<4\text{）}$が決まったとき，さいころを投げて出た目を$k$とし，

$x_{n+1}=x_n+\cos {\displaystyle \frac{k\pi }{3}}\text{，}$$y_{n+1}=y_n+\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{3}}$

として${\mathrm{A}}_{n+1}$$(x_{n+1},y_{n+1})$を決める．以下の問いに答えなさい．

(1)　座標平面上の点のうち，${\mathrm{A}}_1$または${\mathrm{A}}_2$または${\mathrm{A}}_3$として選ばれる可能性のある点の個数を求めなさい．

(2)　${\mathrm{A}}_2$が原点$\mathrm{O}$と一致する確率を求めなさい．

(3)　${\mathrm{A}}_2$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にある確率を求めなさい．

(4)　${\mathrm{A}}_3$が原点$\mathrm{O}$と一致する確率を求めなさい．

(5)　${\mathrm{A}}_4$が原点$\mathrm{O}$と一致する確率を求めなさい．