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2023-11261-0201
2023 東京都立大 後期
理(数理科学,化学),都市環境(都市基盤環境,建築),システムデザイン学部
易□ 並□ 難□
【1】 次のように定められた数列 { an } を考える.
a1= 1715 , an+ 1= 12⁢ (an +1 an ) ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
以下の問いに答えなさい.
(1) すべての自然数 n に対して a n>1 であることを示しなさい.
(2) an= 4 bn+ 14 bn- 1 とするとき. bn を a n を用いて表しなさい.
(3) bn+1 を b n を用いて表しなさい.
(4) 数列 { an } の一般項を求めなさい.
2023-11261-0202
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
理(数理科学),都市環境(都市基盤環境),システムデザイン学部
【2】 以下の問いに答えなさい.
(1) 定積分 ∫02 ⁢π 2⁢θ⁢ sin2⁡ θdθ を求めなさい.
(2) 定積分 ∫02 ⁢π θ2⁢ sin⁡θ⁢ dθ を,必要ならば部分積分を 2 回行うことにより求めなさい.
(3) 定積分 ∫02 ⁢π sin3⁡θ ⁢dθ を求めなさい.
(4) サイクロイド
{ x=θ-sin ⁡θ y=1-cos ⁡θ
の 0≦θ≦ 2⁢π の部分と x 軸で囲まれた図形を D とする. D を y 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V を求めなさい.
2023-11261-0203
【3】 空間内の原点 O を中心とする半径が 1 の球面上の 4 点 A , B , C , D が
OA→ ⋅OB→ =- 15 , | AC→ |= 2⁢ 155 , 6⁢OA →+5 ⁢OB→ +5⁢ OC→ +8⁢OD →= 0→
をみたすとする.以下の問いに答えなさい.
(1) 内積 OA →⋅ OC→ を求めなさい.
(2) 内積 OA →⋅ OD→ を求めなさい.
(3) 内積 OB →⋅ OC→ を求めなさい.
(4) ▵ABC の面積を求めなさい.
2023-11261-0204
【4】 a を実数とする. 0 でない複素数 z に対し
f⁡( z)= z6+ 4⁢z3 +a+ 8 z3 + 4z6
と定める.以下の問いに答えなさい.
(1) x=z3 +2 z3 とする. f⁡( z) を x を用いて表しなさい.
(2) f⁡( z)= 0 をみたす x がただ 1 つ存在するとき, a の値と x の値を求めなさい.
(3) (2)で求めた a の値に対し, f⁡( z)= 0 をみたす z の値をすべて求め,極形式で表しなさい.ただし,偏角は 0 以上 2 未満とする.