2023　横浜市立大　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　$2^{{\log }_{4}9}$の値を計算しなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　複素数$z$が$z^4=z^2-1$をみたすとき，$z^{40}+2z^{10}+{\displaystyle \frac{1}{z^{20}}}$の値を求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　方程式

${\displaystyle \frac{1}{2+{\cos }^{2}x}}+{\displaystyle \frac{1}{1+{\sin }^{2}x}}={\displaystyle \frac{64}{63}}$

の解$x$のうち，$0\leqq x\leqq 180\mathrm{°}$の範囲にあるものの個数を求めなさい．

【１】　　以下の各問いに答えなさい．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　$1$つの問題につき，その解答の候補が$5$個提示されている試験があります．各問題に対して正解はちょうど$1$つだけ存在し，解答者は各問題に対して，必ず$1$つの解答を選択しなければならないものとします．このような問題が$5$問ある試験に対して，各問題の解答の候補からランダムにひとつを選んで答えることにします．このとき，$5$問中$3$問が正解となる確率を求めなさい．

【２】　中の見えない箱と十分な枚数の白いカードを用意します．用意した白いカードは書き込みが可能ですが，書き込みの有無や書かれた内容を触って判別することはできないものとします．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　新しい白いカードを用意して箱に入れておきます．いま，箱の中からすべての白いカードを取り出し，$0$と書き込んだカードを$a$枚作成します．また，$1$と書き込んだカードを$b$枚，$2$と書き込んだカードも$c$枚作成します．これら数字を書き込んだカードのみを箱の中にすべて戻して，よくかきまぜてから，$2$枚のカードを箱から取り出したとき，カードに書かれている数の和が$3$以上になる確率を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて書き表しなさい．ただし，$a\geqq 1\text{，}$$b\geqq 1\text{，}$$c\geqq 1$とします．

(2)　最初に新しい白いカードを用意して箱に入れておきます．いま，箱の中からすべての白いカードを取り出し，$0$と書いたカードを$d$枚作成します．白いままのカードは$e$枚です．箱の中にすべてのカードを戻し，よくかきまぜます．次に，投げたときに表と裏の出る確率がそれぞれ等しくなる公平な硬貨を$1$枚用意します．また，箱の中にあるものとは別に白いカードを用意します．この別途用意したカードは十分な枚数があって，必要なだけ使うことができます．用意した硬貨を投げ，表が出たら，箱の中とは別に用意した白いカード$1$枚に$0$と書いて箱の中に入れます．裏が出たら，箱の中とは別に用意した白いカード$1$枚を取り，なにも書かないで箱に入れます．

　硬貨を$n$回投げたあとに，箱の中からカードを$1$枚取り出したとき，そのカードに$0$と書かれている確率を$d\text{，}$$e\text{，}$$n$を用いて書き表しなさい．

(3)　あらためて，新しい白いカードを$x$枚用意して空の箱に入れておきます．この箱から$m$枚のカードを取り出し，すべてに$1$と書きます．すべて書き終ったら，すべてのカードを箱に戻し，よくかきまぜてから$n$枚のカードを取り出します．この取り出したカード$n$枚のうち，ちょうど$k$枚に$1$と書かれている確率を$x\text{，}$$m\text{，}$$n\text{，}$$k$を用いて書き表しなさい．ただし，$k\leqq m\leqq x\text{，}$$k\leqq n\leqq x$とします．

【３】　空間内の$2$つの直線$l\text{：}2x-4=y=2z+2$と$m\text{：}6-2x=y-5=z+5$について，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$l\text{，}$$m$両方の直線の方向ベクトルに垂直なベクトル$\overrightarrow{p}$を求めなさい．

(2)　(1)で求めた$\overrightarrow{p}$に平行な直線$n$が$l\text{，}$$m$とそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とで交わるとき，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$それぞれの座標および直線$n$の方程式を求めなさい．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$を直径として持つような球の方程式を求めなさい．

【４】　$\left|x\right|<1$となる$x$に対して関数$S(x)$を

$S(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{\sqrt{1-t^2}}}$

として定義します．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(x)}{x}}$を求めなさい．

(2)　$S\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)$を求めなさい．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}}\mathit{dt}$を求めなさい．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}}S(x)\mathit{dx}$を求めなさい．

【５】　$a$を正の整数とします．箱の中に，各々に$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$a$の整数がひとつずつ書かれているカードが$a$枚入っています．この箱から無作為にカードを$1$枚取り出し，そのカードに書かれた数字を記録してから，そのカードを箱に戻すという試行を$n$回繰り返します．確率変数$X_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$は$i$回目の試行で取り出したカードに書かれた数字を表し，確率変数$M=(X_1+X_2+\cdots +X_n)/n$は標本平均とします．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$a=26$のとき，$X_i$の平均$E(X_i)$と分散$V(X_i)$を求めなさい．

(2)　$a=26$のとき，箱の中から，偶数が書かれているカードをすべて取りのぞき，数字が奇数のカードのみを箱の中に残しました．この箱から無作為にカードを$1$枚取り出し，そのカードに書かれた数字を記録してから，そのカードを再び箱に戻す試行を$n$回繰り返します．確率変数$Y_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$は$i$回目の試行で取り出したカードに書かれた数字を表すものとします．$Y_i$の平均$E(Y_i)$と分散$V(Y_i)$を求めなさい．

(3)　$a=26$のとき，再び箱の中に$a$枚のカードをすべて入れて，この箱から無作為にカードを$1$枚取り出し，そのカードに書かれた数字を記録してから，そのカードを再び箱に戻す試行を$n$回繰り返し，$i$回目の試行で取り出したカードに書かれた数字を確率変数$X_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$で表します．確率変数$M$の標準偏差を$\sigma (M)$で表すとき，$C={\displaystyle \frac{\sigma (M)}{E(M)}}$について，$C<0.1$となるために必要な自然数$n$の最小値を求めなさい．

(4)　(3)の試行を$n=100$回繰り返したとき，標本平均$M$の値は$12$であり，標本標準偏差の値は$8$であったとします．$M$の確率分布を正規分布で近似し，$X_i$の未知の母平均$m$の信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を小数点以下第$2$位まで求めなさい．ただし，$X_i$の母標準偏差には標本標準偏差の値を代入しなさい．

《編注》正規分布表が添付されている．