2023　三条市立大　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=x^4-4x^3+3$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフを描け．

(2)　直線$l\text{：}y=ax+b$が関数$f(x)$と異なる$2$点で接する（二重接線となる）ときの$a$と$b$の値を求めよ．

(3)　関数$f(x)$と直線$l$の接点の座標を求めよ．

【２】　長さ$l$の線分$\mathrm{AB}$が図のように$x‐y$座標平面上に置かれている．点$\mathrm{A}$は$x$軸上を，点$\mathrm{C}$は$y$軸上を移動するものとする．また$\mathrm{AC}$の長さ$a$は一定値とし，線分$\mathrm{AB}$と$x$軸とのなす角を$\theta$とする．点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AC}$の中点である．このとき次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{M}$の座標$x\text{，}$$y$をそれぞれ求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$が動くことによってできる点$\mathrm{B}$および点$\mathrm{M}$の軌跡の方程式をそれぞれ求めよ．また，その方程式からそれらの軌跡はどのような形か述べよ．

【３】　座標空間に$4$点$\mathrm{A}$$(3,-1,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-1,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(2,0,3)\text{，}$$\mathrm{D}$$(3t,t+1,2)$がある．このとき，次の空欄を埋めよ．

(1)　$\mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}$であるとき，$t$の値は$t=\text{ア}$である．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面$T$の方程式を$ax+by+cz+d=0$で表すと，$a=\text{イ}\text{，}$$b=\text{ウ}\text{，}$$c=\text{エ}\text{，}$$d=\text{オ}$である．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$は$S=\text{カ}$である．

(4)　$t=3$のときの，点$\mathrm{D}$から平面$T$に垂線を下したときの交点（垂線の足）$\mathrm{H}$の座標を求める．原点の座標を$\mathrm{O}$$(0,0,0)$とすると，$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{H}$は平面$T$上にあるから，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$は実数$m\text{，}$$n$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+m\overrightarrow{\mathrm{AB}}+n\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

と表せる．これを踏まえて$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$の成分を$m\text{，}$$n$を用いて表すと，

$\overrightarrow{\mathrm{DH}}=(\text{キ},\text{ク},\text{ケ})$

となる．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}\perp T$であるから，$m$および$n$の値は$m=\text{コ}\text{，}$$n=\text{サ}$となる．これより，点$\mathrm{H}$の座標は$(\text{シ},\text{ス},\text{セ})$である．また，線分$\mathrm{DH}$の長さ$l$は$l=\text{ソ}$である．

【４】　平面上にある曲線の任意点における法線方向に対し，一定の距離だけ離れた位置にある曲線をその曲線の平行曲線と呼ぶことにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=\cos x$$\text{（}0<x<\pi \text{）}$があり，$\alpha$をパラメータとしたとき，点$(\alpha ,\cos \alpha )$における法線の方程式を求めよ．

(2)　曲線$y=\cos x$$\text{（}0<x<\pi \text{）}$と一定の距離$d$にある$2$本の平行曲線について，それぞれの曲線上の点の座標$x\text{，}$$y$を求めよ．