2023　三条市立大　推薦MathJax

【１】　$1$辺の長さが$a$である正四面体（全ての面が合同な正三角形である三角錐）$\mathrm{ABCD}$において，頂点$\mathrm{A}$から$\mathrm{▵BCD}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{H}$は$\mathrm{▵BCD}$の外接円の中心であることを示せ．

(2)　$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

(3)　正四面体$\mathrm{ABCD}$の体積$V$を求めよ．

【２】　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{(x-a)}^2\mathit{dx}$$\text{（}a$は未定定数）の値が${\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，すなわち，

${\displaystyle {\int }_0^1}{(x-a)}^2\mathit{dx}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

のとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　この定積分は被積分関数のグラフと$x$軸と$x$軸に垂直な直線で囲まれた面積で表される．おのおのの$a$について定積分を図示せよ．

【３】　$20$分ごとに$1$回分裂して$2$倍の数になる細菌がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　この細菌$10$個が$n$回分裂した時の細菌数$m$を表す式を求めよ．（ヒント：$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3$のときの細菌数を考えよ）

(2)　この細菌$10$個が分裂を開始してから$1$万個に達するまでの分裂回数$n$はいくらか．ただし，${\log }_{10}2=0.3$とする．

(3)　$1$万個に達するのは何分後か．

(4)　上の結果を踏まえ，$40$個から分裂を開始した場合，$1$万個に達するのは何分後か．