2023　富山県立大学　前期工学部MathJax

【１】　正の整数$N$を$7$進法で表すと$3$桁の数${\mathit{abc}}_{(7)}$となり，$4$進法で表すと$3$桁の数${\mathit{def}}_{(4)}$となる．このとき$4a+2b+c=d-3e+f$を満たすすべての$N$を$10$進法で表せ．

【２】　$a$を正の実数とし，数列$\{x_n\}$を次のように定める．

$x_1=4a\text{，}$$x_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(x_n+{\displaystyle \frac{a^2}{x_n}})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n$に対して$x_n>a$が成り立つことを示せ．

(2)　すべての$n$に対して$x_n>x_{n+1}$が成り立つことを示せ．

(3)　$y_n={\displaystyle \frac{x_n-a}{x_n+a}}$とおく．数列$\{y_n\}$の一般項を求めよ．また，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．座標空間の$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,a,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,2-a,-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,7,-3)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた値のとき，四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$の値を求めよ．

【４】　媒介変数$t$で表される$xy$平面上の次の曲線を$C$とする．

$x=1-\cos 2t\text{，}$$y=\sin 3t$$(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点で$x$座標が最大となる点を$\mathrm{P}\text{，}$$y$座標が最大となる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$に対応する点における$C$の法線$l$の方程式を求めよ．

(3)　直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$と$l$および$C$で囲まれた部分の面積$S$の値を求めよ．