2023　公立小松大　前期MathJax

【１】　等差数列$100,97,94,91,\cdots$の第$n$項を$a_n$とする．また，初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

(1)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$S_n$が最大となるときの$n$の値と，その$n$に対する$S_n$の値を求めよ．

(3)　$S_n$が負となるような最小の自然数$n$を求めよ．また，その$n$に対する$a_n$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$があり，

$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+4\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$

が成り立っている．

(1)　直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，線分の長さの比$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$と$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$を求めよ．

(2)　面積の比$\mathrm{▵PAB}:\mathrm{▵ABC}$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上で，方程式$\sqrt{7}|z-1|=|z+1|$を満たす複素数$z$全体が表す図形を求めよ．

(2)　$\left|z\right|=r$と$\sqrt{7}|z-1|=|z+1|$を同時に満たす複素数$z$が$2$つ存在するような，正定数$r$の値の範囲を求めよ．

(3)　複素数平面上で，(2)の$2$つの複素数の表す$2$点と原点$\mathrm{O}$を頂点とする三角形が正三角形であるとき，$r$の値を求めよ．

【４】　座標平面上で，点$\mathrm{A}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$と曲線$C\text{：}y=\log x$上の点$\mathrm{Q}$を結ぶ線分$\mathrm{AQ}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{P}$とする．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が曲線$C$上を動くとき，点$\mathrm{P}$の描く曲線を$T$とする．$T$の方程式を求めよ．

(3)　(2)の曲線$T$と曲線$C$の交点の$x$座標を求めよ．

(4)　(2)の曲線$T$と曲線$C$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．