2023　公立諏訪東京理科大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=-x^3-3x^2+9x$と関数$g(x)=k$に対して以下の問いに答えよ．ただし，$k$は実数の定数とする．

(1)　$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　座標平面上において$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた領域が$2$つ存在するとき，これら$2$つの面積が等しくなるような$k$の値を求めよ．

【２】　関数$f(\theta )={\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$u=\sin \theta +\cos \theta$とおいて，$f(\theta )$を$u$の式で表せ．

(2)　$u$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$f(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　次の積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|f(\theta )|\mathit{d\theta }$

【３】　$m$を正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$1$から$60$の整数において，$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のどの数でも割り切ることのできない整数の個数を求めよ．

(2)　$1$から$m$の整数において，$4$で割り切れる整数の個数を$a_1\text{，}$$5$で割り切れる整数の個数を$a_2\text{，}$$6$で割り切れる整数の個数を$a_3\text{，}$$4$と$5$で割り切れる整数の個数を$b_1\text{，}$$5$と$6$で割り切れる整数の個数を$b_2\text{，}$$4$と$6$で割り切れる整数の個数を$b_3\text{，}$$4$と$5$と$6$で割り切れる整数の個数を$c$とするとき，$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のどの数でも割り切ることのできない整数の個数を$m\text{，}$$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$c$で表せ．

(3)　$1$から$60$の整数において，$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のどの数でも割り切ることのできない整数の和を求めよ．

【４】　$0\leqq A<1\text{，}$$a_1=A$とし，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対し，

$a_k\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$a_{k+1}=2a_k-1\text{，}$$b_k=1$

$a_k<{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$a_{k+1}=2a_k\text{，}$$b_k=0$

とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$A=0.375$のとき，$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　$A=0.6$のとき，$b_k$を求めよ．

(3)　(2)のとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{b}_k\cdot 2^{-k}$

を求めよ．