2023　公立諏訪東京理科大学　中期MathJax

【１】　$a>0$とし，座標平面において曲線$y=e^{ax}$上の$x$座標が負である点$\mathrm{P}$における接線と，両座標軸とで囲まれる図形の面積を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$p$とし，$S$を$p$で表せ．

(2)　(1)で求めた$S$を$p$で微分せよ．

(3)　$p$の関数$S$の最大値を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$1+\cos x$を$\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{1+\sin x}{1+\cos x}}$を$\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}$と$\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$を用いて表せ．

(3)　次の不定積分を求めよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数である．

${\displaystyle \int }{e}^x\{f^{\prime }(x)+f(x)\}\mathit{dx}$

(4)　次の不定積分を求めよ．

${\displaystyle \int }{e}^x{\displaystyle \frac{1+\sin x}{1+\cos x}}\mathit{dx}$

【３】　ある感染症$\mathrm{C}$にかかっている人が$4\mathrm{\%}$いる集団$\mathrm{A}$がある．検査$\mathrm{X}$で診断すると感染症$\mathrm{C}$にかかっている人が正しく陽性と判断される確率は$80\mathrm{\%}$であるが，偽陽性と判断される（誤って陽性と判断される）確率は$10\mathrm{\%}$である．検査$\mathrm{Y}$で診断すると感染症$\mathrm{C}$にかかっている人が正しく陽性と判断される確率は$70\mathrm{\%}$であるが，偽陽性と判断される確率は$20\mathrm{\%}$である．集団$\mathrm{A}$の全員が検査$\mathrm{X}$または検査$\mathrm{Y}$を受けていて，検査$\mathrm{X}$を受けた人は全体の$40\mathrm{\%}\text{，}$検査$\mathrm{Y}$を受けた人は全体の$60\mathrm{\%}$であり，両方を受けた人はいない．また，検査の結果は陽性か陰性のいずれかのみであり，判別不能などは起こらない．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　集団$\mathrm{A}$のある人について，その人が検査$\mathrm{X}$を受けて陽性と判断される確率を求めよ．

(2)　集団$\mathrm{A}$のある人について，その人が検査$\mathrm{X}$を受けて陽性と判断されたとき，感染症$\mathrm{C}$にかかっている確率を求めよ．

(3)集団Aのある人について，その人が検査$\mathrm{X}$を受けて陰性と判断されたとき，感染症$\mathrm{C}$にかかっている確率を求めよ．

(4)　集団$\mathrm{A}$のある人について，検査$\mathrm{X}$または検査$\mathrm{Y}$を受けて陰性と判断されたとき，感染症$\mathrm{C}$にかかっている確率を求めよ．

【４】　中心$(0,2)\text{，}$半径$2$の円$C$と，$C$上の点$\mathrm{A}$を考える．$C$を$x$軸上の正の方向に滑らないように転がしたとき，$C$と$x$軸の接点を$\mathrm{B}\text{，}$$C$の中心を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{\angle ADB}=\theta$とする．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{A}$は最初$(0,0)$にあるものとする．

(1)　点$\mathrm{A}$が$\mathrm{D}$の周りを$\theta$だけ回転するまで$C$を転がしたとき，$C$の中心の座標$\mathrm{D}$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$が$\mathrm{D}$の周りを$\theta$だけ回転するまで$C$を転がしたとき，$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(3)　$C$がちょうど$1$回転する間に，$\mathrm{A}$の描く曲線の長さを求めよ．

(4)　$C$がちょうど$1$回転する間に，$\mathrm{A}$の描く曲線と$x$軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．