2023　公立諏訪東京理科大学　推薦MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{5+2i}{3+i}}-{\displaystyle \frac{2-5i}{1-3i}}$を計算せよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$-1\leqq x\leqq 2$のとき，$f(x)=2^{2x}-2^{x+1}+4$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　${(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^6$を展開して整理した値を$a+b\sqrt{6}$（ただし，$a\text{，}$$b$は有理数）とする．このとき，$b$の値を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$x^{{\log }_{2}x}={\displaystyle \frac{x^6}{256}}$の解を求めよ．ただし，$x>0$とする．

【２】　以下の問いに答えよ．

(2)　方程式$(x^2+11x-30)(x^2-11x-30)$$+120x^2=0$の解を求めよ．

【３】　$0<a<\sqrt{6}$とし，座標平面上の放物線$y=6-x^2$と放物線上の点$\mathrm{A}$$(a,6-a^2)$を考える．$\mathrm{A}$を通り$x$軸と平行な直線と放物線との交点で，$\mathrm{A}$とは異なる交点を$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{A}$から$x$軸に下した垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{B}$から$x$軸に下した垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{D}$とし，長方形$\mathrm{ABDC}$の面積$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(2)　$S$を$a$で表せ．

(3)　$S$の最大値を求めよ．

(4)　放物線と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる面積を$S_1$とする．$S_1$が$S$と等しくなる$a$の値を求めよ．

【４】　$\overrightarrow{a}=(-1,1,1)\text{，}$$\overrightarrow{b_1}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1,-1,0)\text{，}$$\overrightarrow{b_2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(-1,-1,1)$とする．また，$c_1\text{，}$$c_2$を$(c_1,c_2)\ne (0,0)$となる実数とし，$\overrightarrow{b}=c_1\overrightarrow{b_1}+c_2\overrightarrow{b_2}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積を$c_1\text{，}$$c_2$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{b}$の大きさを$c_1\text{，}$$c_2$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\cos \theta$を$c_1\text{，}$$c_2$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた$\cos \theta$に対して，$c_1\text{，}$$c_2$を変化させたときの$\cos \theta$の最大値を求めよ．