2023　静岡県立大学　前期MathJax

【１】　数字の書かれた$6$枚のカード$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$5\text{，}$$12\text{，}$$34$がある．この中からカードをいくつか選び，それらを並べて整数を作る．ただし，同じカードは$2$度以上使わないものとする．例えば$4$枚のカード$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$12$を選び，$21231$の順に並べてできる整数は$21231$である．このとき，次のような整数はいくつできるか求めよ．

(1)　$2$桁の異なる整数

(2)　$3$桁の異なる整数

(3)　$6$枚のカード全部を使ってできる異なる整数

【２】　$t$を正の実数とする．放物線$y=x^2$を$C\text{，}$点$(t,t^2)$における$C$の接線を$l\text{，}$点$(0,0)$を通り$l$と垂直な直線を$m$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$l$と$m$の方程式を，それぞれ求めよ．

(2)　$C$と$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$$C$と$m$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．面積の和$S_1+S_2$を$t$を用いて表せ．

(3)　(2)の$S_1+S_2$が最小となるときの$t$の値と$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

【３】　$t$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点${\mathrm{A}}_1$$(2,1,2)\text{，}$${\mathrm{A}}_2$$(1,1,1)\text{，}$${\mathrm{A}}_3$$(0,0,t)$がある．$\overrightarrow{a_1}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}\text{，}$$\overrightarrow{a_2}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}\text{，}$$\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}$とし，

$\overrightarrow{b_1}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a_1}}{\left|\overrightarrow{a_1}\right|}}\text{，}$$\overrightarrow{b_2}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a_2}-(\overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{b_1})\overrightarrow{b_1}}{|\overrightarrow{a_2}-(\overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{b_1})\overrightarrow{b_1}|}}\text{，}$$\overrightarrow{b_3}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a_3}-(\overrightarrow{a_3}\cdot \overrightarrow{b_1})\overrightarrow{b_1}-(\overrightarrow{a_3}\cdot \overrightarrow{b_2})\overrightarrow{b_2}}{|\overrightarrow{a_3}-(\overrightarrow{a_3}\cdot \overrightarrow{b_1})\overrightarrow{b_1}-(\overrightarrow{a_3}\cdot \overrightarrow{b_2})\overrightarrow{b_2}|}}\text{，}$

とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{b_1}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b_2}\right|$と内積$\overrightarrow{b_1}\cdot \overrightarrow{b_2}$をそれぞれ求めよ．

(2)　内積$\overrightarrow{b_1}\cdot \overrightarrow{b_3}$と$\overrightarrow{b_2}\cdot \overrightarrow{b_3}$を，それぞれ求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1}=\overrightarrow{b_1}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_2}=2\overrightarrow{b_2}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}_3}=3\overrightarrow{b_3}$となるように$3$点${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_3$をとる．このとき，三角形$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2$の面積を求めよ．また，四面体$\mathrm{O}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3$の体積を求めよ．

【４】　実数全体を定義域とする関数$f(x)=1+\cos x$$+2\cos 2x$$+3\cos 4x$について，次の問に答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$n$を整数とする．定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(x)\sin nx\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$n$を$0$でない整数とする．定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(x)\cos nx\mathit{dx}$を求めよ．