2023　愛知県立大学　前期MathJax

【１】　白玉$10$個と赤玉$5$個が袋に入っている．この袋から$1$個ずつ玉を取り出し，その順番で左から右へ$15$個の玉を一列に並べる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　列の左から$5$番目の位置にはじめて赤玉が並ぶ確率を求めよ．

(2)　列の左から$n$番目の位置に$3$個目の赤玉が並ぶ確率を$P_n$$\text{（}3\leqq n\leqq 13\text{）}$とする．このとき，$P_n$が最大となる$n$とそのときの確率を求めよ．

(3)　ちょうど$3$個連続して赤玉が並ぶ確率を求めよ．なお，$4$個以上連続して赤玉が並ぶ事象はこの確率に含めないものとする．

(4)　ちょうど$3$個連続して赤玉が並んだとき，その$3$個連続した最後の赤玉が列の左から$n$番目の位置にある条件付き確率を$Q_n$$\text{（}3\leqq n\leqq 15\text{）}$とする．このとき，$Q_n$が最大となる$n$とそのときの確率を求めよ．

【２】　平面上に，同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(s,t)\text{，}$$\mathrm{B}$$(v,w)$がある．点${\mathrm{P}}_n\text{，}$${\mathrm{Q}}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$を以下のように定める．線分$\mathrm{OA}$の中点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$線分${\mathrm{P}}_1\mathrm{B}$を$2:1$に内分する点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}$線分$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1$の中点を${\mathrm{P}}_2\text{，}$線分${\mathrm{P}}_2\mathrm{B}$を$2:1$に内分する点を${\mathrm{Q}}_2$とする．同様に，$n=3\text{，}$$4\text{，}\cdots$に対して，線分$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_{n-1}$の中点を${\mathrm{P}}_n\text{，}$線分${\mathrm{P}}_n\mathrm{B}$を$2:1$に内分する点を${\mathrm{Q}}_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_{n+1}}$を$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　点${\mathrm{P}}_n$の座標を$(x_n,y_n)$とする．$x_n\text{，}$$y_n$を$s\text{，}$$t\text{，}$$v\text{，}$$w\text{，}$$n$を用いて表せ．

(3)　$S_n$を$\mathrm{▵}\mathrm{A}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$の面積とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【３】　関数$F\text{，}$$G$を

$F(a)={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\{a{e}^{-x}\sin x-(2a+1)e^{-x}\cos x\}\mathit{dx}$

$G(a)={\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{\{a{e}^{-x}\sin x+2(a+1)e^{-x}\cos x)\}}^2\mathit{dx}$

で定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　定積分$F(a)$を求めよ．

(2)　定積分$G(a)$を求めよ．

(3)　$a$が実数全体を動くとき，${\displaystyle \frac{F(a)}{G(a)}}$に最大値，最小値があれば，それを求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　条件

$(z_1-\overline{z_1})({\displaystyle \frac{1}{\overline{z_1}}}-{\displaystyle \frac{1}{z_1}})=-\mathrm{Im}(z_1)$および$\mathrm{Im}(z_1)\ne 0$

を満たす複素数平面上の点$z_1$はどのような図形を描くか．ただし，$\mathrm{Im}(z_1)$は$z_1$の虚部を表す．

(2)　複素数平面において，原点を中心とする半径$2\sqrt{2}$の円と(1)の点$z_1$が描く図形の共有点の偏角$\theta$を求めよ．ただし，偏角$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(3)　条件

$|z_2-1-ai|=|z_2-(1+a)i|$

を満たす複素数平面上の点$z_2$が描く図形と(1)の点$z_1$が描く図形が共有点を持つように，定数$a$の値の範囲を定めよ．ただし，$a$は実数とし，$i$は虚数単位とする．