2023　滋賀県立大学　前期MathJax

【１】　$1$個のさいころを$3$回投げて，出た目を小さい順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$$\text{（}a\leqq b\leqq c\text{）}$とする．

(1)　$(a,b,c)=(4,5,6)$となる確率$P_1$を求めよ．

(2)　$a=1$となる確率$P_2$を求めよ．

(3)　$c=3$となる確率$P_3$を求めよ．

(4)　不等式${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{2}{b}}+{\displaystyle \frac{4}{c}}\geqq 4$を満たす$(a,b,c)$の組をすべて求めよ．

(5)　不等式${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{2}{b}}+{\displaystyle \frac{4}{c}}\geqq 4$を満たす確率$P_4$を求めよ．

【２】　座標空間において，ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,2,-2)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(2,1,2)$を考える．$0\leqq \theta \leqq 2\pi$とし，$\overrightarrow{p}=(\cos \theta )\overrightarrow{a}+(\sin \theta )\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{q}=(\cos \theta ,\sin \theta ,1)$とおく．

(1)　$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$および内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{p}\right|$の値が$\theta$に関係なく一定であることを示せ．また，その値を求めよ．

(3)　内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　$t=\sin \theta -\cos \theta$とおく．$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$のなす角を${\theta }_1$とする．

(ア)　$t$の値の範囲を求めよ．

(イ)　$\cos {\theta }_1$を$t$の関数で表せ．

(ウ)　$t$の関数$\cos {\theta }_1$の最大値と最小値およびそれらを与える$t$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　$i$を虚数単位とする．$z=a+{\displaystyle \frac{i}{4a}}$$\text{（}a>0\text{）}$とする．

(1)　$\left|z\right|$を$a$を用いて表せ．

(2)　$z$の偏角を${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．

(ア)　$a$の値を求めよ．

(イ)　${\displaystyle \frac{1}{\bar{z}}}$の値を求めよ．

(ウ)　${\displaystyle \frac{1}{1-z}}-{\displaystyle \sum _{k=0}^8}{z}^k$の値を求めよ．

(3)　$a=1$とする．複素平面上の点$w$は，点$z$を原点を中心に${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$回転させた点とする．複素平面上の$3$点$\mathrm{A}(z)\text{，}$$\mathrm{B}(w)\text{，}$$\mathrm{C}(\bar{z})$を頂点とする三角形の面積$S_1$と，$3$点$\mathrm{A}(z)\text{，}$$\mathrm{B}(w)\text{，}$$\mathrm{D}\left({\displaystyle \frac{w+\bar{z}}{2}}\right)$を頂点とする三角形の面積$S_2$をそれぞれ求めよ．

【４】　$p$を正の定数とする．$2$つの関数$f(x)=x\log {\displaystyle \frac{x}{p}}$と$g(x)=e^{f(x)}$を考える．ただし，$\log$は自然対数である．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$と$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　定積分$I={\displaystyle {\int }_p^{2p}}{\displaystyle \frac{x{g}^{\prime }(x)}{g(x)}}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$x\geqq 1$の範囲での関数$g(x)$の最小値を$p$を用いて表せ．また，そのときの$x$の値を求めよ．