2023　滋賀県立大学　後期MathJax

【１】(1)(ア)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$と$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の値を求めよ．

(イ)　方程式$z^3={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-{\displaystyle \frac{i}{\sqrt{2}}}$の解を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{e^{-x}}{e^{-2x}+5e^{-x}+6}}\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　$3$個のさいころ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を投げて，さいころ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．さいころ$\mathrm{C}$の出た目が偶数のときは$c=0\text{，}$奇数のときは$c=1$とする．$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$とする．

(1)　方程式$f(x)=0$が$-1$を解にもつ確率$P_1$を求めよ．

(2)　関数$f(x)$が極値をもつ確率$P_2$を求めよ．

(3)　方程式$f(x)=0$が$2$重解$x=0$をもち，かつ曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$が$S\leqq {\displaystyle \frac{b^2}{3a}}$となる確率$P_3$を求めよ．

【３】　次の条件で定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1}}={\displaystyle \frac{a_n}{n+2}}+1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n=(n+1)a_n$により定める．$b_{n+1}$を$b_n$と$n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k+1}{a_k^2}}$を求めよ．

【４】　$a$を実数とする．曲線$C\text{：}y=\sqrt{3x-1}$と直線$l\text{：}y=3ax+a$が接するとする．$C$と$l$および$x$軸で囲まれた部分を$A$とする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$A$の面積$S$を求めよ．

(3)　$A$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．