2023　滋賀県立大学　後期総合問題MathJax

【２】　以下の問い（問１〜３）に答えよ．なお解答とともに導出過程を解答欄で説明せよ．

問１　ある電力会社が$5$か所の太陽光発電設備を保有している．今後$3$年間のうちに太陽光発電設備で故障が発生する確率を考える．それぞれの太陽光発電設備で$3$年間のうちに故障が発生する確率が${\displaystyle \frac{1}{10}}$だとする．

(1)　今後$3$年間のうちに，$2$か所の太陽光発電設備で故障が発生する確率を小数点以下$3$桁まで求めよ．

(2)　今後$3$年間のうちに，$3$か所以上の太陽光発電設備で故障が発生する確率を小数点以下$3$桁まで求めよ．

【２】　以下の問い（問１〜３）に答えよ．なお解答とともに導出過程を解答欄で説明せよ．

問２　ある市では太陽光発電設備を市内の住宅に普及するため，$3$年間にわたる普及促進事業を実施しようとしている．新築住宅については，太陽光発電設備の普及が進んでいるため，ここでは考えないものとする．現状では市内の住宅には全く設置されていないものとする．普及促進事業によって，毎年，設置されていない住宅のうち一定の比率$p$$\text{（}0\leqq p\leqq 1\text{）}$の住宅に設置されるものとする．これから$3$年間，設置された太陽光発電設備はすべて継続して使用されるものとする．

(1)　$3$年後の市内の住宅への太陽光発電設備の設置比率を$p$を用いて数式で答えよ．

(2)　$3$年間で普及促進事業に要する経費[億円]は$2p^3+3p^2$である．一方で，$3$年後の市内の住宅の設置比率に$6$を掛けた数値が普及にともなう環境面の便益を金額に換算した値[億円]だとする．環境面の便益と普及促進事業経費のバランスをとった事業を計画するため，環境面の便益の金額から普及促進事業経費の金額を差し引いた値を最大にする比率$p$および経費の金額$2p^3+3p^2$を求めよ．

【２】　以下の問い（問１〜３）に答えよ．なお解答とともに導出過程を解答欄で説明せよ．

問３　大規模太陽光発電設備の設置について考える．角$\mathrm{O}$$\text{（}\mathrm{\angle BOA}\text{）}$が直角である直角三角形$\mathrm{OAB}$を考えたとき，$\mathrm{AB}$が太陽光発電パネルを設置する面，$\mathrm{OA}$が地面$\mathrm{DE}$に接しているものとする．この問いでは太陽の高度のみを考え，東西方向の移動については無視する．角度は弧度法で示す．下図の太陽光線が地面に対してなす角度（高度）$\mathrm{\angle CDE}$を$\alpha$$(0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．太陽光線が屋根$\mathrm{AB}$に対してなす角度を$\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．常に太陽光線は$\mathrm{AB}$の面に直接当たるものとする．なお発電出力$1\mathrm{MW}$（メガワット），発電量$1\mathrm{MWh}$（メガワット時）は，それぞれ$1\times 1000\mathrm{kW}$（キロワット）の発電の規模，$1\times 1000\mathrm{kWh}$（キロワット時）の電気の量を示す．

(1)　$\mathrm{\angle OAB}$の角度が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であり$\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であるとき，$\theta$を求めよ．

(2)　発電設備の発電出力$[\mathrm{MW}]$は$\sin \theta$だとする．$\mathrm{\angle OAB}$が${\displaystyle \frac{\pi }{8}}$であるとき発電出力を最大にする$\alpha$を求めよ．

(3)　発電出力$[\mathrm{MW}]$が$\sin \theta$のとき，発電設備の$t_1$時から$t_2$時までの発電量$[\mathrm{MWh}]$は，${\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}}\sin \theta \mathit{dt}$で計算できる．$\mathrm{\angle OAB}$の角度が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であり，太陽の高度$\alpha$は時間の推移に伴って変化し，時刻$t$時のとき，$\alpha =\pi ({\displaystyle \frac{t}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})$である$\text{（}6\leqq t\leqq 12\text{）．}$このとき，$6$時から$12$時の間の発電量を$\mathrm{MWh}$単位で求めよ．なお，$\sin (ax+b)$$\text{（}x$が変数，$a\text{，}$$b$は定数，ただし$a$は$0$ではない）の不定積分は，$-{\displaystyle \frac{1}{a}}\cos (ax+b)+C$である$\text{（}C$は積分定数）．