2023　京都府立大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$a>b>c$を満たす自然数とする．$a$と$b$の最大公約数と最小公倍数の和は$c$で割り切れ，$b$と$c$の最大公約数と最小公倍数の和は$a$で割り切れ，$c$と$a$の最大公約数と最小公倍数の和は$b$で割り切れるとする．$d={\displaystyle \frac{a}{c}}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$と$b$の正の公約数は$c$の約数であることを示せ．

(2)　$a$と$b$が，$b$と$c$が，$c$と$a$がそれぞれ互いに素であるとき，$1+ab+bc+ca\geqq abc$であることを示せ．

(3)　$d$のとりうる最大の値を求めよ．

【２】　$3$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$は

$\tan a_n={\displaystyle \frac{n^2+3n-2}{n^2+3n+4}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$\tan b_n={\displaystyle \frac{3}{n^2+3n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$\tan c_n=n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．さらに，$0<a_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{），}$$0<b_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{），}$$0<c_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1+b_1$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(a_k+b_k)$を$n$を用いて表せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(c_{k+3}-c_k)$を求めよ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }(n\pi -4{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k)$を求めよ．

【３】　座標空間内において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面上に異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．線分$\mathrm{BC}$を$3:4$に内分する点を$\mathrm{L}\text{，}$線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$線分$\mathrm{OM}$の中点を$\mathrm{N}$とする．直線$\mathrm{BN}$が$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$で定める平面$\mathrm{OAC}$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$で定める平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$\mathrm{O}$は平面$\mathrm{ABC}$上にないものとする．さらに，

$5\overrightarrow{\mathrm{QA}}+4\overrightarrow{\mathrm{QB}}+3\overrightarrow{\mathrm{QC}}=\overrightarrow{0}$

が成り立つとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵QBC}$の面積の比を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle BAC}$の大きさを求めよ．

(4)　$4$面体$\mathrm{OABC}$の体積がとりうる最大値を求めよ．

【４】　座標平面上に，媒介変数$t$を用いて

$x=e^t\cos t\text{，}$$y=e^t\sin t$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

と表される曲線$C$がある．$C$と$x$軸で囲まれた部分を$S$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点で$x$座標が最大になる点$\mathrm{P}$と$y$座標が最大になる点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(2)　$C$と$y$軸の交点$\mathrm{R}$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(3)　$S$の面積を求めよ．

【１】　$a>0\text{，}$$b>0$とする．$\mathrm{▵ABC}$において，$3$つの辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BC}$の長さをそれぞれ$2a\text{，}$$5a\text{，}$$b$とする．$\mathrm{\angle BAC}$を$\theta$とおき，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$3$つの線分$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{CD}$の長さをそれぞれ$p\text{，}$$q\text{，}$$r$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a=1\text{，}$$b$が自然数，$\mathrm{\angle BAC}$が鈍角であるとき，$b$の値を求めよ．

(2)　$p^2=10a^2-qr$となることを示せ．

(3)　$p={\displaystyle \frac{20}{7}}a\cdot \cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$となることを示せ．

【２】　$k\text{，}$$n$を自然数とする．種子$30$粒入りの袋が$k$個ある．種子には土に植えても発芽しないものがあり，それぞれの袋の中には，土に植えると$5$日以内に発芽する種子が$n$粒含まれているとする．それぞれの袋から種子を$1$粒のみ取り出して土に植えて，発芽しているかしていないかを$5$日後に調査した．以下の問いに答えよ．ただし，いずれの種子も同じ確率で袋の中から取り出されるものとする．

(1)　$k=4\text{，}$$n=25$とする．発芽した種子が$2$粒となる確率を求めよ．

(2)　$k=6\text{，}$$n=20$とする．少なくとも$1$粒は発芽したことがわかっているとき，$6$粒すべてが発芽している条件付き確率を求めよ．

(3)　$n=10$とする．少なくとも$1$粒は発芽する確率を$99.2\mathrm{\%}$以上とするには，種子の入った袋は最低何個必要か求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【３】　$xy$平面上で，曲線$y=|-{\displaystyle \frac{2}{9}}{x}^2+2|$と直線$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．