2023　京都府立医科大学　前期MathJax

【１】　次の条件(a)，(b)を満たす凸多面体を考える．

(a)　面は正三角形または正方形である．

(b)　合同な$2$つの面は辺を共有しない．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　一つの頂点を共有する面の数は$4$であることを証明せよ．

(2)　正三角形と正方形の面の数をそれぞれ求めよ．

(3)　正八面体を平面で何回か切断することで条件(a)，(b)を満たす凸多面体が得られる．どのように切断するのか説明せよ．

(4)　(3)の切断で得られる凸多面体を$F$とし，$F$の$1$辺の長さは$1$とする．$F$のすべての正三角形の面に接する球を$B$とする．$B$と$F$の共通部分の体積を求めよ．

【２】　関数$f(t)\text{，}$$g(t)$は微分可能でその導関数は連続であり，導関数$f^{\prime }(t)\text{，}$$g^{\prime }(t)$の値は同時に$0$になることはないとする．

　$xy$平面上で媒介変数$t$を用いて$x=f(t)\text{，}$$y=g(t)$と表される曲線$C$を考える．$C$上に点$\mathrm{P}$$(f(t_0),g(t_0))$をとる．ただし$t\ne t_0$ならば$(f(t),g(t))\ne (f(t_0),g(t_0))$を満たすとする．$\mathrm{P}$を通る直線$l$を考える．$C$上に$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$$(f(t),g(t))$をとり，$\mathrm{Q}$から$l$に垂線をおろし，$l$との交点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$\mathrm{Q}$が$l$上にあるときは$\mathrm{H}=\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\overrightarrow{n}$は大きさ$1$の$l$に垂直なベクトルとする．

$\left|\overrightarrow{\mathrm{QH}}\right|=|\overrightarrow{n}\dot{}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$

であることを証明せよ．

(2)　$l$が$\mathrm{P}$における$C$の接線であるための必要十分条件は，$\underset{t\to t_0}{\lim }{\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{QH}}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}}=0$であることを証明せよ．

【３】　$z$は$0$でない複素数とする．$0$以上の整数$n$に対して，$a_n=z^n+{\bar{z}}^n$とおく．ここで$\bar{z}$は$z$と共役な複素数である．

(1)　$a_n$は実数であることを証明せよ．

(2)　$z=1+i$とする．ただし$i$は虚数単位である．$0$以上の整数$k$に対して，$a_{4k}\text{，}$$a_{4k+1}\text{，}$$a_{4k+2}\text{，}$$a_{4k+3}$を求めよ．

(3)　次の条件を満たす$z$をすべて求めよ．

条件：$0$以上のすべての整数$k$に対して$a_{6k}=a_{6k+2}$である．

【４】　$a\text{，}$$b$は$0<b<1<a$を満たす実数とする．$xy$平面上で方程式

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2-1}}=1$

で表される楕円を$C$とする．$C$と同じ焦点をもち，点$(b,0)$を通る双曲線を$D$とする．$C$と$D$の共有点のうち第$1$象限にあるものを$\mathrm{P}$とし，その$x$座標を$s$とする．$C$で囲まれる部分と領域$0\leqq x\leqq s$との共通部分を$K$とし，直線$x=s$と$D$で囲まれる部分を$L$とする．$K$と$L$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_K\text{，}$$V_L$とする．

(1)　$s$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$における$C$の接線と$D$の接線は垂直であることを証明せよ．

(3)　$V_K$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(4)　$s=1$であるとき，極限$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{V_L}{V_K}}$を求めよ．