2023　大阪公立大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が階段の一番下の段にいる．$2$人はじゃんけんをして，下記のルールに従い階段を移動するゲームを繰り返し行う．

・$\mathrm{A}$は勝ったら$1$段のぼり，あいこか負けた場合，同じ段にとどまる．

・$\mathrm{B}$はグー，チョキで勝ったら$1$段のぼり，パーで勝ったら$3$段のぼる．また，あいこか，グー，チョキで負けた場合，同じ段にとどまる．パーで負けたら階段の一番下の段まで戻る（すでに一番下の段にいる場合はとどまる）．

$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$ともに，${\displaystyle \frac{1}{3}}$ずつの確率でグー，チョキ，パーを出すものとし，すべての試行は独立とする．$2$回目以降のゲームは，$2$人とも直前のゲームでの移動を終えた位置で行うものとする．階段の一番下の段を$0$段目とし，そこから$m$段のぼった段を$m$段目とする．次の問いに答えよ．

問１　$n$は自然数とし，$m$は$0\leqq m\leqq n$である整数とする．$n$回のゲームを終えた結果，$\mathrm{A}$が$m$段目にいる確率$x_{n,m}$を求めよ．

問２　$m$は$0$以上の整数とする．$2$回のゲームを終えた結果，$\mathrm{B}$が$m$段目にいる確率$y_m$を求めよ．

問３　$n$は自然数とする．$n$回のゲームを終えた結果，$\mathrm{B}$が$0$段目にいる確率$z_n$を求めよ．

【２】　$i$は虚数単位を表すものとする．複素数に関する方程式

$z=(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}-i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}})\bar{z}$

の表す複素数平面上の図形を$l$とする．次の問いに答えよ．

問１　$l$は直線であることを証明せよ．

問２　直線$l$に関して複素数$w$と対称な点を$w$の式で表せ．

問３　複素数$z$に対して，$z$を点$1$を中心に反時計回りに${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$回転した点を$z_1$とし，次に$z_1$を原点を中心に反時計回りに${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$回転した点を$z_2$とする．さらに，直線$l$に関して$z_2$と対称な点を$f(z)$とする．$f(z)$を$z$の式で表せ．

問４　$f(z)$は問３のとおりとする．複素数$z$に関する方程式

$f(z)=-z-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$

の表す複素数平面上の図形を図示せよ．

【３】　次の問いに答えよ．

問１　$a\text{，}$$b$は実数とし，$f(x)$は$a\text{，}$$b$が属する開区間で定義された関数とする．$f(x)$が連続な第$2$次導関数$f^{″}(x)$をもつとき，次の等式を証明せよ．

${\displaystyle {\int }_a^b}(b-x)(x-a)f^{″}(x)\mathit{dx}$$=(b-a)(f(a)+f(b))$$-2{\displaystyle {\int }_a^b}f(x)\mathit{dx}$

問２　$t$を正の実数とする．次の不等式を証明せよ．

$0\leqq {\displaystyle {\int }_t^{t+1}}\log x\mathit{dx}$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(\log t+\log (t+1))$$\leqq {\displaystyle \frac{1}{8}}({\displaystyle \frac{1}{t}}-{\displaystyle \frac{1}{t+1}})$

問３　次で定まる数列$\{a_n\}$に対し，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{\log n}}$を求めよ．

$a_n=\log (n!)-n\log n+n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

【４】　$p$は素数とする．次の問いに答えよ．

問１　$j$を$0<j<p$である整数とすると，二項係数${}_{p}C_j$は$p$で割り切れることを示せ．

問２　自然数$m$に対して${(m+1)}^p-m^p-1$は$p$で割り切れることを示せ．

問３　自然数$m$に対して$m^p-m$は$p$で割り切れることを示せ．さらに$m$が$p$で割り切れないときには，$m^{p-1}-1$が$p$で割り切れることを示せ．

　ここで，次の集合$S$を考える．

$S=\{4n^2+4n-1|n\text{は自然数}\}$

例えば，$n=22$とすると$4n^2+4n-1=2023$なので$2023$は$S$に属する．次の問いに答えよ．

問４　整数$a$が$S$に属し，$a=4n^2+4n-1$$\text{（}n$は自然数）と表されているとする．このとき，$a$と$2n+1$は互いに素であることを示せ．

問５　$p$は$3$以上の素数とする．$p$が$S$に属するある整数$a$を割り切るならば，$2^{\frac{p-1}{2}}-1$は$p$で割り切れることを示せ．

【１】　$1$回の試行ごとに赤玉か白玉を$1$個出す機械を考える．この機械からは$1$回目の試行では赤玉か白玉がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で出るが，$2$回目以降には直前に出たものと同じ色の玉が$\alpha$の確率で，直前に出たものと異なる色の玉が$1-\alpha$の確率で，それぞれ出るものとする．ただし，$\alpha$は$0<\alpha <1$を満たす定数とする．$(n+m)$回目の試行を終えた時点で赤玉が$n$個，白玉が$m$個出ている確率を$P_{n,m}$とする．次の問いに答えよ．

問１　$P_{2,2}$を$\alpha$の式で表せ．

問２　$P_{n,1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を$\alpha$と$n$の式で表せ．

問３　$P_{4,1}$の値が最大となる$\alpha$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$をそれぞれ

$a_n={\displaystyle \frac{5^{2^{n-1}}-1}{2^{n+1}}}\text{，}$$b_n={\displaystyle \frac{a^{n+1}}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．ただし，$5^{2^{n-1}}$は$5$の$2^{n-1}$乗を表す．次の問いに答えよ．

問１　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$を求めよ．

問２　すべての自然数$n$について$b_n$は整数であることを示せ．

問３　すべての自然数$n$について$a_n$は整数であることを示せ．

問４　すべての自然数$n$について$a_n$は奇数であることを示せ．

【３】　座標平面上の直線

$l_1\text{：}y=\sqrt{3}x\text{，}$$l_2\text{：}y=-\sqrt{3}x\text{，}$$l_3\text{：}y=0$

を考える．点${\mathrm{P}}_0$$(\cos t_0,\sin t_0)$$(0\leqq t_0\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}})$に対して，$l_1\text{，}$原点，$l_2\text{，}$原点，$l_3\text{，}$原点に関して対称な点を次々にとることにより，点${\mathrm{P}}_1$から${\mathrm{P}}_6$を定める．つまり，${\mathrm{P}}_0$と$l_1$に関して対称な点が${\mathrm{P}}_1$であり，${\mathrm{P}}_1$と原点に関して対称な点が${\mathrm{P}}_2$であり，以下，同様に${\mathrm{P}}_3\text{，}$${\mathrm{P}}_4\text{，}$${\mathrm{P}}_5\text{，}$${\mathrm{P}}_6$を定める．また，${\mathrm{P}}_6$から始めて，再び$l_1\text{，}$原点，$l_2\text{，}$原点，$l_3\text{，}$原点に関して対称な点を次々にとることにより，点${\mathrm{P}}_7$から${\mathrm{P}}_{12}$を定める．つまり，${\mathrm{P}}_6$と$l_1$に関して対称な点が${\mathrm{P}}_7$であり，${\mathrm{P}}_7$と原点に関して対称な点が${\mathrm{P}}_8$であり，以下，同様に${\mathrm{P}}_9\text{，}$${\mathrm{P}}_{10}\text{，}$${\mathrm{P}}_{11}\text{，}$${\mathrm{P}}_{12}$を定める．さらに，$t_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$12\text{）}$を${\mathrm{P}}_i$の座標が$(\cos t_i,\sin t_i)$$\text{（}0\leqq t_i<2\pi \text{）}$となる実数とする．次の問いに答えよ．

問１　$t_0={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$t_1$と$t_2$を求めよ．

問２　$t_6$を$t_0$の式で表し，${\mathrm{P}}_6$は不等式$0\leqq y\leqq \sqrt{3}x$の表す領域の点であることを示せ．

問３　${\mathrm{P}}_0={\mathrm{P}}_{12}$を示せ．

【４】　座標平面上で，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$$(1,3)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$を考える．与えられた点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{OA}$の距離を$d(\mathrm{P})$とおく．すなわち$d(\mathrm{P})$は，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{OA}$上を動くときの線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値である．次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$の座標が$(5,2)$のとき，$d(\mathrm{P})$の値を求めよ．

問２　点$\mathrm{P}$の座標が$(a,b)$のとき，$d(\mathrm{P})$を$a\text{，}$$b$の式で表せ．

問３　放物線$y=x^2$上にあり，$d(\mathrm{P})=\sqrt{10}$を満たす点$\mathrm{P}$の$x$座標をすべて求めよ．