2023　大阪公立大学　中期MathJax

　定数$a$は正の実数とする．$x\geqq 1$で定義された関数

$f(x)=a\sqrt{x^2-1}$

を考える．また，点$(t,f(t))$（ただし，$t>1\text{）}$における曲線$y=f(x)$の接線を$l$とする．$a\text{，}$$t$のうち必要なものを用いて，以下の問いに答えよ．

問１　接線$l$の方程式を答えよ．

問２　接線$l$と$x$軸の交点の$x$座標を答えよ．

問３　接線$l$と直線$y=ax$の交点の座標を答えよ．

問４　接線$l$と$x$軸，および直線$y=ax$で囲まれた部分の面積$S(t)$を答えよ．

問５　極限$\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$を答えよ．

　四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\mathrm{OA}=4\text{，}$$\mathrm{OB}=5\text{，}$$\mathrm{OC}=3\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}$$=\mathrm{\angle BOC}$$=\mathrm{\angle AOC}$$=90\mathrm{°}$であるとする．$0<t<1$である実数$t$に対し，線分$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{AB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{CO}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{G}$とする．$t$を用いて，以下の問いに答えよ．

問１　四角形$\mathrm{DEFG}$の面積を答えよ．

問２　四角形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とするとき，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下した垂線と$\alpha$の交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{OH}$の長さを答えよ．

問３　四面体$\mathrm{OABC}$を平面$\alpha$で$2$つの部分に分けたとき，頂点$\mathrm{O}$を含む部分の体積を答えよ．

　$\stackrel{\text{から}}{\text{空}}$の$\stackrel{\text{つぼ}}{\text{壺}}$がある．また，袋に，「壺を空にする」と書かれたカードが$1$枚，$\text{「}0\text{」}$と書かれたカードが$1$枚，$\text{「}1\text{」}$と書かれたカードが$2$枚，$\text{「}2\text{」}$と書かれたカードが$1$枚，計$5$枚のカードが入っている．以下の操作を考える．

操作：袋からカードを$1$枚引き，カードに書かれている数字の数だけ玉を壺に入れる．ただし，カードに「壺を空にする」と書かれている場合は，壺を空にする．いずれの場合も，引いたカードは袋に戻す．

　$n$を$n\geqq 1$である整数とする．操作を$n$回行ったあとに，壺が空である確率を$p_n\text{，}$壺に入っている玉の個数が$1$である確率を$q_n$とする．以下の問いに答えよ．ただし，玉は十分多くあるものとする．

問１　$p_{n+1}$を$p_n$の式で表せ．

問２　数列$\{p_n\}$の一般項を答えよ．

問３　$q_{n+1}$を$p_n$と$q_n$の式で表せ．

問４　$r_n=5^n{q}_n$とおく．$r_{n+1}-r_n$を$n$の式で表せ．

問５　数列$\{q_n\}$の一般項を答えよ．

　$t$は実数とし，$s={\displaystyle \frac{t}{t^2+4t+9}}$とする．$x$の関数

$f(x)=e^{2x}+10s{e}^{x+1}+2e^{2}x$

を考える．以下の問いに答えよ．

問１　$f(x)$が，極大値および極小値をそれぞれただ一つの$x$に対してとるように，$t$の値の範囲を答えよ．

問２　$t$は問１の範囲にあるとする．このとき，$f(x)$は$x=x_1$で極大値をとり，また，$x=x_2$で極小値をとるとし，$L=f(x_1)+f(x_2)$とおく．$s$を用いて，$L$を表せ．

問３　$t$は問１の範囲にあるとする．問２で与えた$L$が最小となる$t$の値，およびそのときの$L$の値を答えよ．

問４　$t$の値が問３で求めたものであるとき，積分

$I={\displaystyle {\int }_{x_1}^{x_2}}f(x)\mathit{dx}$

の値を答えよ．ただし，$x_1\text{，}$$x_2$は問２で与えたものである．

　$s\text{，}$$t$を実数とし，$x$の関数$f(x)=3s{x}^4+35t{x}^2+15$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

問１　積分$I={\displaystyle {\int }_0^1}{\{f(x)\}}^2\mathit{dx}$を計算し，$s\text{，}$$t$を用いて答えよ．

問２　問１の$I$が最小となる$s$と$t$の値を答えよ．

問３　$s$と$t$が問２で求めた値のとき，直線$y=15$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を答えよ．