2023　大阪公立大学　後期MathJax

2023-11562-0301

2023　大阪公立大学　後期

理学部数学科,物理学科

配点100点

易□　並□　難□

【１】　 $0 ≦ θ ≦ 2 π$ とする． $x, y$ 平面において原点 $O$ $(0, 0)$ と点 $P$ $(\cos θ, \sin θ)$ を通る直線を $l$ とし，点 $Q$ $(2, 0)$ と点 $P$ を結ぶ線分の垂直二等分線を $m$ とする．次の問いに答えよ．

問１　 $l$ と $m$ が交点を持つための， $θ$ に関する条件を求めよ．

問２　 $θ$ が問１の条件を満たしながら $0 ≦ θ ≦ 2 π$ の範囲を動くとき， $l$ と $m$ の交点の軌跡の方程式を求めよ．

問３　問２で求めた曲線によって，不等式 $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ の表す領域は $2$ つの部分に分けられる．そのうちで $O$ を含まない方を $S$ とする． $S$ を $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を求めよ．

2023-11562-0302

2023　大阪公立大学　後期

理学部数学科

配点100点

易□　並□　難□

【２】　数列 ${a_{n}}$ を

$a_{1} = \frac{1}{2} ，$ $a_{n + 1} = 3 - \frac{1}{{a_{n}}^{2}}$

で定める．また，方程式

$x = 3 - \frac{1}{x^{2}}$

の実数解のうち，最も大きいものを $c$ とおく．次の問いに答えよ．

問１　 $c > 2$ を示せ．

問２　 $n ≧ 3$ のとき， $a_{n} ≧ 2$ であることを示せ．

問３　 $n ≧ 3$ のとき， $| a_{n + 1} - c | ≦ \frac{1}{4} | a_{n} - c |$ であることを示せ．

問４　 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = c$ を示せ．

2023-11562-0303

2023　大阪公立大学　後期

理学部数学科

配点100点

易□　並□　難□

【３】　自然数 $k ，$ $n$ に対し， $f_{k} (n) = \sum_{m = 1}^{n} m^{k}$ とおく．また， $f_{0} (n) = n$ とおく． $f_{1} (n) = \frac{1}{2} n (n + 1)$ であるから $f_{1} (n)$ は $n$ についての $2$ 次式であり， $f_{2} (n)$ は $n$ についての $3$ 次式である．次の問いに答えよ．

問１　等式 $m^{3} - {(m - 1)}^{3} = 3 m^{2} - 3 m + 1$ で $m = 1 ，$ $2 ， \dots ，$ $n$ とおいたものの辺々を足し合わせることによって， $f_{2} (n)$ を $n$ で表す式を導け．

問２　 $f_{k} (n)$ は $n$ についての $(k + 1)$ 次式であることを示せ．また， $f_{k} (n)$ における $n^{k + 1}$ の係数を求めよ．

問３　 $f_{k} (n)$ における $n^{k}$ の係数を求めよ．

2023-11562-0304

2023　大阪公立大学　後期

理学部数学科

配点100点

易□　並□　難□

【４】　関数 $f (x)$ は第 $2$ 次導関数をもち， $0 ≦ x ≦ 1$ の範囲で $f^{″} (x) ≧ 0$ を満たすとする．自然数 $n$ に対して，

$S_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k + 1}{n}} {(x - \frac{k}{n}) f^{'} (\frac{k}{n}) + f (\frac{k}{n})} dx$

$T_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k + 1}{n}} {(x - \frac{k}{n}) f^{'} (\frac{k + 1}{n}) + f (\frac{k}{n})} dx$

と定める．次の問いに答えよ．

問１　 $0 ≦ a < b ≦ 1$ とするとき， $a ≦ x ≦ b$ の範囲で

$(x - a) f^{'} (a) + f (a) ≦ f (x) ≦ (x - a) f^{'} (b) + f (a)$

が成り立つことを示せ．

問２　 $S_{n} ≦ \int_{0}^{1} f (x) dx ≦ T_{n}$ を示せ．

問３　 $p = f (0) ，$ $q = f (1)$ とおくとき， $\lim_{n \to \infty} {n \int_{0}^{1} f (x) dx - \sum_{k = 0}^{n - 1} f (\frac{k}{n})}$ を $p$ と $q$ を用いて表せ．

2023-11562-0305

2023　大阪公立大学　後期

理学部数学科

配点100点

易□　並□　難□

【５】　 $n$ を $3$ 以上の自然数とし，正 $n$ 角形 $P$ を $x, y$ 平面の $y ≧ 0$ の範囲内で動かすことを考える． $P$ の頂点を反時計回り（左回り）に $A_{0} ，$ $A_{1} ， \dots ，$ $A_{n - 1}$ とおく．まず，辺 $A_{0} A_{1}$ が $x$ 軸と重なった状態から， $A_{1}$ を中心として $P$ を時計回りに辺 $A_{1} A_{2}$ が $x$ 軸と重なるまで回転させる．以降，同様に，辺 $A_{k - 1} A_{k}$ が $x$ 軸と重なった状態から $A_{k}$ を中心として $P$ を時計回りに辺 $A_{k} A_{k + 1}$ が $x$ 軸と重なるまで回転させる操作を， $k = 2 ， \dots ，$ $n - 1$ に対して順に行う．ただし， $A_{n}$ は $A_{0}$ を表すものとする．以上のように正 $n$ 角形 $P$ を動かしたときの頂点 $A_{0}$ の軌跡の長さを $S$ とする．また， $k = 1 ，$ $2 ， \dots ，$ $n - 1$ に対し，線分 $A_{0} A_{k}$ の長さを $a_{k}$ とおく．次の問いに答えよ．

問１　 $k = 2 ， \dots ，$ $n - 1$ に対して，下線部の操作における $A_{0}$ の軌跡の長さを， $a_{k}$ を用いて表せ．

問２　 $k = 1 ，$ $2 ， \dots ，$ $n - 2$ に対して， $∠ A_{k} A_{k + 1} A_{0}$ を求めよ．

問３　正弦定理を用いることによって， $k = 1 ，$ $2 ， \dots ，$ $n - 1$ に対して， $\frac{a_{k}}{a_{1}}$ を求めよ．

問４　三角関数の積を差に変形する公式を用いることによって， $\sum_{k = 1}^{n - 1} (\frac{a_{k}}{a_{1}} \sin \frac{π}{2 n})$ を求めよ．

問５　 $P$ が半径 $1$ の円に内接するとき， $S$ を求めよ．

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