2023　兵庫県立大学　前期国際商経,社会情報科学部MathJax

$3a_{n+1}=b_n+c_n\text{，}$$6b_{n+1}=3a_n+4c_n\text{，}$$a_n+b_n+c_n=1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．$a_1=0\text{，}$$b_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$として，以下の問に答えなさい．

(1)　$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

(2)　$6c_{n+1}=3a_n+4b_n$と$b_n=c_n$が成り立つことを示しなさい．

(3)　$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

(1)　$r\text{，}$$z_0\text{，}$$z_1$の値を求めなさい．

(2)　$\mathrm{\angle OAQ}=90\mathrm{°}$となるとき，$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

(3)　$\mathrm{\angle POQ}=\theta$とする．$\mathrm{P}$が$C_0$上を，$\mathrm{Q}$が$C_1$上を動くとき，$\theta$の最小値は$\mathrm{\angle BOD}$に一致することを示しなさい．

(4)　$\mathrm{P}$が$C_0$上を，$\mathrm{Q}$が$C_1$上を動くとき，$\mathrm{▵POQ}$の面積$S$の最大値を求めなさい．

(1)　${\mathrm{A}}_i\text{，}$${\mathrm{A}}_j\text{，}$${\mathrm{A}}_k$が三角形の頂点とならない（$3$点が一直線上にある）確率$P_1$を求めなさい．

(2)　$i=1\text{，}$$j=4$とする．$3$点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_k$を頂点とする三角形の内部に原点$\mathrm{O}$がある（三角形の辺上に原点$\mathrm{O}$がある場合を除く）のは，${\mathrm{A}}_k$が${\mathrm{A}}_{10}$か${\mathrm{A}}_{11}$のときであり，かつそのときに限られることを示しなさい．

(3)　${\mathrm{A}}_i\text{，}$${\mathrm{A}}_j\text{，}$${\mathrm{A}}_k$が三角形の頂点となり，かつその三角形の内部に原点$\mathrm{O}$がある（三角形の辺上に原点$\mathrm{O}$がある場合を除く）確率$P_2$を求めなさい．

(4)　${\mathrm{A}}_i\text{，}$${\mathrm{A}}_j\text{，}$${\mathrm{A}}_k$が三角形の頂点となり，かつその三角形の外部に原点$\mathrm{O}$がある（三角形の辺上に原点$\mathrm{O}$がある場合を除く）確率$P_3$を求めなさい．

(ⅰ)　$C_{n-1}$および$x$軸と接している

(ⅱ)　中心が$l$上にある

(ⅲ)　中心の$x$座標は$C_{n-1}$の中心の$x$座標より大きい

以下の問に答えなさい．

(1)　$C_1$の中心の座標$(x_1,y_1)$を求めなさい．

(2)　$C_n$の半径を$r_n$とするとき，${\displaystyle \frac{r_n}{r_{n-1}}}$は$n$に関係なく一定，すなわち${\displaystyle \frac{r_n}{r_{n-1}}}$は定数であることを示しなさい．

(3)　$s_n$を$C_n$の面積とし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{s}_k$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めなさい．