2023　兵庫県立大学　推薦工学部MathJax

(1)　円$C_1\text{，}$$C_2$の方程式を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とし，$\theta$を用いて内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を求めよ．

(3)　$ac+bd$の最大値を求めよ．

(4)　$ac+bd$の最小値を求めよ．

(5)　$ac+bd$が最大となる条件を，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて数式で表現せよ．

(6)　$ac+bd$が最小となる条件を，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を用いて数式で表現せよ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数として$2$つの関数$f(x)=x^3-1\text{，}$$g(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$を考える．座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C_1$（図参照），曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．$C_2$は点$\mathrm{A}$$(-1,-2)$を通り，$C_2$の点$\mathrm{A}$における接線は$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線と一致するとして以下の問に答えよ．

(1)　曲線$C_1$の点$\mathrm{A}$における接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$と(1)で求めた接線$l$との距離を求めよ．

(3)　$b\text{，}$$c$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(4)　$a=-2$の時，関数$g(x)$の極大値，極小値ならびにその時の$x$の値を求めよ．

(5)　(4)の時，$-2\leqq x\leqq -1$で曲線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$x=-2$で囲まれる領域の面積を$S_1$とする．また，$-1\leqq x\leqq 1$で曲線$C_1\text{，}$$C_2$と直線$x=1$で囲まれる領域の面積を$S_2$として$S_1+S_2$を求めよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2$を求めよ．

(2)　$a_n<0$となる自然数$n$の範囲を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{20}}\left|a_k\right|$を求めよ．

(4)　公比$r$を求めよ．

(5)　$a_1+a_2+a_3=13$のとき，$a_1$および${\displaystyle \frac{1}{a_3}}+{\displaystyle \frac{1}{a_4}}+{\displaystyle \frac{1}{a_5}}$を求めよ．

(6)　${\displaystyle \frac{1}{a_3}}+{\displaystyle \frac{1}{a_4}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_n}}=205$となる$n$を求めよ．