2023　奈良県立医科大学　後期医学科MathJax

【１】　$xy$平面上の楕円

$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\text{（}a\text{，}b>0\text{）}$

について以下の問に答えよ．

(1)　$m\text{，}$$t$を実数とする．直線$y=mx+t$と楕円$C$とが相異なる$2$点を共有するために$m\text{，}$$t$の満たすべき必要十分条件を求めよ．

(2)　(1)において$m$を固定し，傾き$m$の直線$l_t\text{：}y=mx+t$が$C$と相異なる$2$点を共有するように$t$を動かす．直線$l_t$と楕円$C$との$2$つの共有点のうち，$x$座標の小さい方を$\mathrm{P}(t)\text{，}$$x$座標の大きい方を$\mathrm{Q}(t)$とする．$t$を動かしたとき，線分$\mathrm{P}(t)\mathrm{Q}(t)$の中点はある直線上にのることを証明せよ．

【２】　整数$k$$\text{（}\geqq 2\text{）}$を一つ固定する．正整数$n$に対して，$k$次の方程式

${(E)}_n\text{：}{x}^k+n{x}^{k-1}-(n+2)=0$

を与える．

(1)　すべての正整数$n$に対して，方程式${(E)}_n$は正の解をただ一つしか持たないことを証明せよ．

(2)　各正整数$n$に対して，(1)における正の解を$a_n$とおく．$n\to \infty$のとき数列${\{a_n\}}_{n=1,2,\cdots }$は収束することを示し，その極限値を求めよ．

【３】　実数$a$に対して以下の条件(G)を考える．

・条件(G)：不等式$\lceil 3xyz\rceil <x^3+y^3+z^3+a$が任意の正の実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$に対して成り立つ．（ただし実数$r$に対して$\lceil r\rceil$は$r$以上の整数の中で最小のものを表す．）

(1)　$a\geqq 1$ならば，$a$は条件(G)を満たすことを証明せよ．

(2)　条件(G)を満たす実数$a$の中で，$a=1$は最小であることを証明せよ．

【４】　実数$r$に対して$[r]$は$r$以下の整数の中で最大のものを表す．正整数$m$に対して$n_1=[\sqrt{m}]$とおく．次に$n_2=[\sqrt{m-{n_1}^2}]$とおく．同様に整数$n_i$$\text{（}i>1\text{）}$を帰納的に$n_i=[\sqrt{m-{n_1}^2-\cdots -{n_{i-1}}^2}]$と定める．すると正整数$m$は$l$個の平方数${n_i}^2$$\text{（}i=1\text{，}\cdots \text{，}$$l\text{）}$の和として

$m={n_1}^2+{n_2}^2+\cdots +{n_l}^2\text{，}$$n_i>0$$\text{（}i=1\text{，}\cdots \text{，}l\text{）}$

のように一意に表せる．このとき$l$$\text{（}>0\text{）}$は$m$により定まる関数であり，$l=l(m)$とおく．例えば$5=2^2+1^2$なので$l(5)=2$である．

(1)　$m$$\text{（}>1\text{）}$が平方数$m=k^2$$\text{（}k$は正整数）ならば，$l(m)\ne l(m-1)$となることを証明せよ．

(2)　$2$以上の任意の正整数$m$に対して，$l(m)\ne l(m-1)$となることを証明せよ．

(3)　$l(a)=5$となる最小の正整数$a\text{，}$$l(b)=6$となる最小の正整数$b\text{，}$および$l(c)=7$となる最小の正整数$c$を求めよ．