2023　公立鳥取環境大学　前期MathJax

(1)　$0$ではない$2$つの実数$a\text{，}$$b$について，$a^2=b^2$ならば$a=b$である．

(2)　実数$x\text{，}$$y$について，$x+y\leqq 4$ならば，$x\leqq 2$または$y\leqq 2$である．

(3)　自然数$n$が$4$の倍数かつ$6$の倍数ならば，$n$は$24$の倍数である．

(4)　自然数について，すべての偶数は素数ではない．

(5)　$k$は実数の定数とする．実数$x$について，$x$の$3$次関数$f(x)=x^3+2x^2+kx$の極大値と極小値が存在し，かつ，それらの和が$0$ならば，$k={\displaystyle \frac{8}{9}}$である．

(1)　$f(x)$は次の性質や条件を持つ．

(ⅰ)　$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$である．

(ⅱ)　$x=-2$は方程式$f(x)=0$の解である．

(ⅲ)　$f(3)=-25$である．

(ⅳ)　$f(x)$は$x=3$で極小値をとる．

(2)　$g(x)$は次の性質や条件を持つ．

(ⅰ)　$g(x)=d\sin ex+h$または$g(x)=d\cos ex+h$のどちらか一方であり，$d>0\text{，}$$e>0$である．

(ⅱ)　$0<x<10$のとき$g^{\prime }(x)<0$である．

(ⅲ)　$10<x<20$のとき$g^{\prime }(x)>0$である．

(ⅳ)　$g(x)$の最大値は$5\text{，}$最小値は$1$である．

(1)　$2023$を素因数分解せよ．

(2)　$n$を自然数とする．$2023n$がある自然数の$3$乗になるような$n$のうち，最小のものを求めよ．

(3)　方程式

$49x+91y=2023$

を満たす自然数の組$(x,y)$をすべて求めよ．

(4)　方程式

$xy+116x+16y-167=0$

を満たす自然数の組$(x,y)$をすべて求めよ．

(1)　任意の実数$a\text{，}$$b$および正の実数$c$に対して，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$ab\leqq {\displaystyle \frac{c}{2}}{a}^2+{\displaystyle \frac{1}{2c}}{b}^2$

(2)　$0<p<1$の定数$p$に対して，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{p}^{k-1}={\displaystyle \frac{1-p^n}{{(1-p)}^2}}-{\displaystyle \frac{n{p}^n}{1-p}}$

が成り立つことを示せ．ただし，等比数列の和の公式

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{p}^{k-1}={\displaystyle \frac{1-p^n}{1-p}}$

は用いてよい．

(3)　$q$を正の実数とする．$0$以上の実数$A\text{，}$$B$が，

$A\leqq 2^{\frac{q}{2}}\sqrt{AB}+2^{q}B$

を満たすとき，

$A\leqq 3\cdot 2^{q}B$

が成り立つことを示せ．

(4)　$p$を$0<p<1$の定数とし，数列$\{b_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を

$b_n=n{p}^{n-1}$

と定義する．各項が$0$以上の数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$が，任意の自然数$n$に対して，

$a_{n+1}\leqq 2^{\frac{b_n}{2}}\sqrt{a_{n+1}{a}_n}+2^{b_n}{a}_n$

を満たすとき，任意の自然数$n$に対して，

$a_{n+1}\leqq 3^n\cdot 2^{S_n}{a}_1$

が成り立つことを示せ．ここで，

$S_n={\displaystyle \frac{1-p^n}{{(1-p)}^2}}-{\displaystyle \frac{n{p}^n}{1-p}}$

である．