2023　尾道市立大学　後期MathJax

【１】　箱の中に金色の球が$1$個，銀色の球が$3$個，白色の球が$8$個，計$12$個の球が入っている．さらに金色の球は$1$個で景品と交換でき，銀色の球は$2$個で景品と交換できる．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　この箱から$2$個の球を同時に取り出すとき，景品がもらえる確率を求めなさい．

(2)　この箱から$3$個の球を同時に取り出すとき，景品がもらえる確率を求めなさい．

(3)　この箱から$4$個の球を同時に取り出すとき，景品がもらえる確率を求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[A]　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle A}$は鋭角，$\mathrm{\angle C}=30\mathrm{°}$であるとし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{D}$とする．さらに，$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る円を考えると，この円は直線$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{B}$で接しているとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$が相似であることを証明しなさい．

(2)　辺$\mathrm{AB}$の長さは線分$\mathrm{DC}$の長さの何倍か求めなさい．

(3)　$\mathrm{\angle BDC}$の大きさを求めなさい．

【２】　次の[A]，[B]のうちから，いずれか$1$つを選んで解答しなさい．

[B]　$x\text{，}$$y$を整数とする．次の問いに答えなさい．

(1)　不等式$x^2+y^2-xy\geqq 0$が成立することを証明しなさい．

(2)　$3x^2-3px+p^2-1=0$を満たす整数$x$と素数$p$の組$(x,p)$をすべて求めなさい．

(3)　$p=x^3+y^3$と表せる素数$p$を小さいものから順に$4$つ求めなさい．

【３】　$0\leqq x\leqq \pi$とする．$x$の関数

$f(x)=-\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$$+\sqrt{6}\sin x+\sqrt{2}\cos x+2$

について，次の問いに答えなさい．ただし，必要ならば$1.4<\sqrt{2}<1.5\text{，}$$1.7<\sqrt{3}<1.8$であることは証明なしに用いてよい．

(1)　$t=\sqrt{3}\sin x+\cos x$とおくとき，$t$の取りうる値の範囲を求めなさい．

(2)　$f(x)$を$t$の式で表しなさい．

(3)　(2)で得られた$t$の式を$g(t)$とするとき，$g(t)$の最大値と最小値，およびそれらを与える$t$の値を求めなさい．

(4)　$f(x)$の最大値を与える$x$を$x=\alpha$と表すとする．このとき，$\alpha$が含まれる範囲として正しいものを次の(ア)〜(エ)の中から選び，それを理由とともに答えなさい．

$\text{(ア) }{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha <{\displaystyle \frac{7}{12}}\pi$$\text{(イ) }{\displaystyle \frac{7}{12}}\pi <\alpha <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$$\text{(ウ) }{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi <\alpha <{\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$$\text{(エ) }{\displaystyle \frac{3}{4}}\pi <\alpha <{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$