2023　県立広島大学　前期総合問題B(ア)MathJax

【１】　方程式$x^3=n^3$の解について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　$n=1$であるとき，すべての解を求めよ．

(2)　$x^3=n^3$のすべての解を求めよ．

(3)　$x^3=n^3$の解のうち，複素数であるものを$\alpha$とする．このとき，次の式の値を求めよ．

${\alpha }^{16}+n^8{\alpha }^8+n^{16}$

【２】　身長$165\mathrm{cm}$の人が地上$3\mathrm{m}$の高さにある街灯の真下から，一直線上を毎分$90\mathrm{m}$の速さで遠ざかっていく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　この人の影の先端は地上をどんな速さで動いているか，求めよ．

(2)　この人の影の長さはどんな速さで伸びていくか，求めよ．

(3)　影の長さが身長と同じ長さになるのは，この人が街灯の真下から遠ざかり始めた何秒後か，求めよ．

(4)　(3)の瞬間，この人が街灯を見上げたとき，水平面となす角は何度か，求めよ．

【４】　次の文章を読んで，後の問いに答えよ．

　$2$つの実数$a\text{，}$$b$$\text{（}a>0\text{，}$$b>0\text{）}$の平均の計算方法として，以下のものが知られている．

$\text{相加平均：}{\displaystyle \frac{a+b}{2}}\text{，}$$\text{相乗平均：}\sqrt{ab}\text{，}$$\text{調和平均：}{\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}}$

今，以下のようなケースについて適切な計算式を用いて平均を算出することを考える．

ケース１：$2$台のコンピュータ$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$は$1$秒間に$10$個の命令を実行できる．また，$\mathrm{B}$は$1$秒間に$30$個の命令を実行できる．これらを使用して，それぞれ$1500$個の命令を実行させたとき，$1$秒間に実行した命令数の平均を算出したい．

ケース２：ある生物の細胞は細胞分裂により$1$時間後に細胞の数が$2$倍に増加した．また，$2$時間後には$1$時間後の$8$倍に増加した．この細胞の$1$時間ごとの倍率の平均を算出したい．

(1)　ケース１について，最も適切な計算式を選び，その理由を説明せよ．

(2)　ケース２について，最も適切な計算式を選び，その理由を説明せよ．

(3)　$3$つの計算式の間に${\displaystyle \frac{a+b}{2}}\geqq \sqrt{ab}\geqq {\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}}}$の大小関係が成り立つことを証明せよ．

　【３】は未掲載