2023　広島市立大学　前期MathJax

【１】

問１　$2023$と$1547$の最大公約数を求めよ．

【１】

問２　$3$点$\mathrm{A}$$(1,0,-2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,1,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,1,2)$の定める平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{P}$$(u,u,0)$があるとき，$u$の値を求めよ．

【１】

問３　次の不定積分，定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{2x^2+x-1}}\mathit{dx}$

【１】

問３　次の不定積分，定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\mathit{dx}$

【１】

問４　$x\ne 0$で定義された関数$f(x)={\displaystyle {\int }_1^{x^2}}{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t}}}\mathit{dt}$の導関数$f^{\prime }(x)$を求め，$y=f^{\prime }(x)$のグラフをかけ．

【２】

問１　数列$\{a_n\}$が等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}k(2k+1)(2k+3)a_k=n(n+1)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．また，数列$\{b_n\}$を

$b_n=n(2n+1)(2n+3)a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_1\text{，}$$b_2$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【２】

問２　$m$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$m^3-m$は$3$の倍数であることを示せ．

(2)　$m^5-m$は$5$の倍数であることを示せ．

【３】　関数$f(x)=x{(\log x)}^2-3x$$\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

問１　関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の変曲点，凹凸を調べよ．

問２　不等式$f(x)\leqq -2x$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

問３(1)　不定積分${\displaystyle \int }x\log x\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　問2で求めた$x$の範囲において，曲線$y=f(x)$と直線$y=-2x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　$2$つのレポートの異なる度合い（非類似度）を数値化することは，レポートの独創性を評価するために重要である．レポートのテーマに関する異なる$9$個の単語を選び，それらの単語の集合を$U=\{w_1,w_2,\cdots ,w_9\}$とする．レポート$\mathrm{A}$に，$U$に属する単語が含まれるかどうかを調べたところ，$w_2\text{，}$$w_3\text{，}$$w_5$が含まれていた．このとき，単語の集合$A$を

$A=\{w_2,w_3,w_5\}$

と表す．同様に，レポート$\mathrm{B}$についても調べたところ，単語の集合$B$が$A\cap B=\{w_5\}\text{，}$$\overline{A\cup B}=\{w_1,w_4,w_9\}$を満たしたとする．次の問いに答えよ．

問１　集合$B$を求めよ．

問２　集合$A$の部分集合をすべて求めよ．

問３　集合$U$の部分集合の個数を求めよ．

問４　集合$U$の部分集合$X\text{，}$$Y$について，集合

$Z=(X\cap \bar{Y})\cup (\bar{X}\cap Y)$

の要素の個数$n(Z)$を，$n(X)\text{，}$$n(Y)\text{，}$$n(X\cap Y)$を用いて表せ．

　ここで，$U$の部分集合$X\text{，}$$Y$に対して，$X$と$Y$の非類似度$d(X,Y)$を次の式で定義する．

$d(X,Y)={\displaystyle \frac{n((X\cap \bar{Y})\cup (\bar{X}\cap Y))}{n(X\cup Y)}}$

問５　集合$A\text{，}$$B$に対して，$A$と$B$の非類似度$d(A,B)$を計算せよ．

問６　$C\text{，}$$D$を$U$の部分集合とする．$n(C)=4\text{，}$$n(D)=6$のとき，$C$と$D$の非類似度$d(C,D)$がとりうる値の最大値と最小値を求めよ．