2023　広島市立大学　後期MathJax

【１】

問１　座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$x=4t^3\text{，}$$y=6t^2$

で表されるとき，$t=0$から$t=1$までに$\mathrm{P}$が通過する道のりを求めよ．

【１】

問２　次の関数の導関数を求めよ．

$y=\cos (3^{-x}\pi )$

【１】

問３　次の不定積分，定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{1}{x\sqrt{1-x}}}\mathit{dx}$

【１】

問３　次の不定積分，定積分を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x\sin x\cos x\mathit{dx}$

【２】

問１　すべての自然数$n$に対し

$1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots +\sqrt{n}>{\displaystyle \frac{2}{3}}n\sqrt{n}$

が成り立つことを証明せよ．

【２】

問２　次の命題の真偽をそれぞれ調べよ．真ならば証明をし，偽ならば反例を一組あげよ．ただし，$a\text{，}$$b$は整数とする．

(1)　$ab$を$3$で割った余りが$1$ならば，$a$か$b$のどちらかを$3$で割った余りは$1$である．

(2)　$ab$を$3$で割った余りが$2$ならば，$a$か$b$のどちらかを$3$で割った余りは$2$である．

【３】　箱の中に，$1$から$8$までの赤色の番号札$8$枚と，$1$から$8$までの青色の番号札$8$枚が入っている．この箱から番号札を$3$枚引くとき，次の問いに答えよ．

問１　$3$枚とも同じ色の札である確率を求めよ．

問２　$3$枚が連続した数である確率を求めよ．

問３　$3$枚が同じ色であり，かつ連続した数である確率を求めよ．

問４　$3$枚が同じ色であるか，または連続した数である確率を求めよ．

問５　$3$枚のうち，$2$枚が同じ数である確率を求めよ．

【４】　関数$f(x)=3e^{-x}-e^{-2x}$について，次の問いに答えよ．

問１　$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{″}(x)$を求めよ．

問２　関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の変曲点，凹凸を調べよ．

問３　$k$を実数とするとき，方程式$f(x)=k$を満たす解の個数を調べよ．

問４　曲線$y=f(x)$と直線$y=2$で囲まれた部分の面積を求めよ．