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2023-11831-0401
2023 高知工科大学 総合選抜システム工学群
易□ 並□ 難□
【1】 平面上に一直線上にない 3 点 O , A , B がある. OA=3 , OB=2 とし, OA→ =a→ , OB→ =b→ とおく.線分 OA の中点を C , 線分 BC を 3 :1 に内分する点を D , 直線 OD と線分 AB の交点を E とする.
(1) OC→ , OD→ , OE→ をそれぞれ a→ , b→ を用いて表せ.
(2) 線分 OA を直径とする円 R が点 E を通るとき,図を描き,内積 a→⋅ b→ と三角形 OAB の面積 S1 を求めよ.
(3) (2)のとき,円 R と線分 OB の交点のうち O でない方の点を F とする.線分 EF の長さと三角形 OEF の面積 S2 を求めよ.
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【2】 0≦θ ≦π のとき,関数 f ⁡(θ ) を
f⁡( θ)= 2⁢cos⁡ 4⁢θ+ 4⁢cos2 ⁡θ- 3
とする.
なお,必要に応じて三角関数の加法定理 sin ⁡(α +β) =sin⁡α ⁢cos⁡β +cos⁡α ⁢sin⁡β , および cos⁡( α+β )=cos ⁡α⁢cos ⁡β-sin ⁡α⁢sin ⁡β を用いてよい.
(1) cos⁡2 ⁢θ=t とおくとき, f⁡( θ) を t を用いて表せ.
(2) f⁡( θ) の最大値と最小値を求めよ.
(3) a を実数の定数とする. θ についての方程式 f ⁡(θ )=a が異なる 4 個の実数解をもつような a の値の範囲を求めよ.
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【3】 3 次関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= 12 ⁢ x3- 3⁢x2 +20
とし, y=f⁡ (x ) のグラフを C とする.また, t を実数とし, C 上の点 P (t, f⁡( t) ) における C の接線を l とする.
(1) 関数 f ⁡(x ) の増減,極値を調べて,グラフをかけ.
(2) 接線 l の方程式を求めよ.
(3) 関数 f ⁡(x ) が極小値をとる点を A とする.接線 l が点 A を通るとき,点 P の座標を求めよ.ただし P は A とは異なる点とする.
(4) (3)のとき,点 P を通り傾きが 12 の直線を m とする. C と m の交点のうち第 2 象限にある点を Q とするとき, C と線分 PQ で囲まれた部分の面積 S を求めよ.