2023　北九州市立大学　前期MathJax

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式，または番号を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　循環小数である$1.\stackrel{\cdot }{2}\stackrel{\cdot }{1}$を既約分数で表すと$\text{ア}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式，または番号を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}$$(1,-8)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-2,7)$を通る$2$次関数は$\text{イ}$で表される．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式，または番号を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$\mathrm{AC}=4\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{BC}=3\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{\angle ACB}=60\mathrm{°}$である三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{ウ}$である．

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式，または番号を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　次の$2$つのデータを比較した時，両者の第$1$四分位数の差は$\text{エ}$であり，第$2$四分位数の差は$\text{オ}$である．散らばりの度合いが大きいのはデータ$\text{カ}$である．

（エ，オは絶対値，カは$\text{①}$もしくは$\text{②}$で答えよ）．

・データ$\text{①}$　$13\text{，}$$17\text{，}$$25\text{，}$$36\text{，}$$42\text{，}$$52\text{，}$$78\text{，}$$99$

・データ$\text{②}$　$12\text{，}$$24\text{，}$$36\text{，}$$56\text{，}$$86\text{，}$$95$

【１】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値，式，または番号を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　大人$4$人，子供$5$人の計$9$人の中からグループを作る．それぞれ何通りあるか．

(1)　大人$2$人，子供$3$人の$5$人組を$1$グループつくる方法は$\text{キ}$通りある．

(2)　子供が$1$人以上含まれる$4$人組を$1$グループつくる方法は$\text{ク}$通りある．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問１　$x^4+7x^3-3x^2-23x-14=0$の解は$\text{サ}\text{，}$$\text{シ}\text{，}$$\text{ス}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問２　$2x^2-6x+2y^2+10y=1$で表される円を，直線$x+2y=1$に関して対称移動したときの円の方程式は，$\text{セ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問３　$\sin 10\mathrm{°}+\sin 50\mathrm{°}+\sin 250\mathrm{°}$の値は$\text{ソ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問４　不等式${\log }_{\frac{1}{2}}{x}^2<{({\log }_{\frac{1}{2}}x)}^2$を解くと$\text{タ}\text{，}$$\text{チ}$である．

【２】　以下の問いの空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

問５　$n$を$3$以上の自然数とするとき，和${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-2}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}}$は$\text{ツ}$である．

【３】　方程式$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で定められる$x$の関数$y$について，以下の問いに答えよ．問１では，空欄に入れるのに適する数値または式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．問２と問３では，答えを導く過程も示すこと．

問１(1)　関数$y$の定義域は$\text{ナ}\leqq x\leqq \text{ニ}$である．

(2)　関数$y$$\text{（}x>0\text{）}$の導関数を求めると

${\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}=\text{ヌ}$

となる．

問２　関数$y$について，増減表を求め，グラフの概形を図示せよ．

問３　曲線$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$と$x$軸，$y$軸とで囲まれた領域の面積を求めよ．

【４】　$\mathrm{OA}=8\text{，}$$\mathrm{OB}=3\text{，}$$\mathrm{AB}=7$の三角形$\mathrm{OAB}$と，点$\mathrm{A}$を線分$\mathrm{OB}$に関して対称移動した点$\mathrm{C}$がある．以下の問いに答えよ．答えを導く過程も示すこと．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

問３　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}$を求めよ．

問４　$\overrightarrow{\mathrm{BA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$を求めよ．

問５　$\cos \mathrm{\angle ABC}$を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$は公差が正の数である等差数列で，初項と第$2$項の和は$0\text{，}$積は$-1$であるとする．また，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$と定める．数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$と$\{S_n\}$は次の式を満たすとする．

$a_n+3b_n-2S_n-3=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

さらに，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k(b_k-1)$とする．以下の問題に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$T_n$を$n$の式で表せ．

(5)　$T_n>1000$となる最小の$n$を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^2+(a-1)x+1$と$g(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-b$を考える．以下の問題に答えよ．

(1)　$y=f(x)$のグラフが$x$軸と異なる$2$点で交わるような定数$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$a=0\text{，}$$b=0$のとき，$k>0$かつ${\log }_3{\displaystyle \frac{g(k)}{\sqrt{k}}}={\displaystyle \frac{13}{2}}$を満たす$k$の値を求めよ．また，その$k$の値のもとで${\displaystyle {\int }_0^{\frac{k}{9}-1}}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$a=1$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが異なる$3$つの交点を持つような定数$b$の値の範囲を求めよ．

(4)　$a=0\text{，}$$b=0$のときを考える．$y=g(x)$の接線と$y=f(x)$が異なる$2$点で交わるとする．それら$2$点の中点の$x$座標が$5$であるとき，接線の方程式を求めよ．

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\mathrm{AD}=\sqrt{3}-1\text{，}$$\mathrm{BD}=\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{\angle ADB}=45\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BDC}=30\mathrm{°}$であるとする．また，$\mathrm{BD}$上に$\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{\angle DCE}$となる点$\mathrm{E}$をとる．以下の問題に答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$の外接円の半径$R$を求めよ．

(3)　$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{ACB}$と三角形$\mathrm{DCE}$が相似であることを示せ．

(5)　$\mathrm{AB}\times \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\times \mathrm{AD}=\mathrm{AC}\times \mathrm{BD}$であることを示せ．

【４】　$0$から$9$の数字が書かれた$10$枚のカードから無作為に$1$枚を引き，出た数字を$x$とする．またこの$x$に対して

$\sqrt{x}+2xy+y=2$

が成り立つように$y$を定める．以下の問題に答えよ．

(1)　$y=2$となる確率を求めよ．

(2)　$y>0$となる確率を求めよ．

(3)　$y$が無理数となる確率を求めよ．

(4)　$(y+2)(5y+\sqrt{2}-2)(13y+\sqrt{6}-2)=0$となる確率を求めよ．

(5)　$y$が無理数であるとき，$x$が$3$の倍数である確率を求めよ．