2023　福岡女子大学　前期MathJax

【１】　高校生$500$人に国語・数学・英語それぞれについて得意であるか得意でないかを尋ね，右の表のような集計結果が得られたとする．表において，○はその科目が得意であること，×は得意でないことを示している．例えば，人数が$x_1$となっている行は国語のみが得意であると答えた人が$x_1$人いたことを表している．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　国語，数学，英語のうち$1$科目以上が得意であると答えた人数を$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4\text{，}$$x_5\text{，}$$x_6\text{，}$$x_7$を用いて表しなさい．

(2)　国語が得意であると答えた人数を$J\text{，}$数学が得意であると答えた人数を$M\text{，}$英語が得意であると答えた人数を$E$とする．$J\text{，}$$M\text{，}$$E$をそれぞれ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4\text{，}$$x_5\text{，}$$x_6\text{，}$$x_7$を用いて表しなさい．

(3)　国語が得意であると答えた人数は$240$人，数学が得意であると答えた人数は$285$人，英語が得意であると答えた人数は$222$人，$3$科目とも得意でないと答えた人数は$50$人，$3$科目とも得意であると答えた人数は$25$人であったとする．このとき$2$科目のみが得意で$1$科目が得意でないと答えた人数を求めなさい．

【２】　座標平面上の原点$\mathrm{O}\text{，}$円$x^2+y^2=1$上を動く点$\mathrm{P}\text{，}$円${(x-2)}^2+{(y-2\sqrt{3})}^2=1$上を動く点$\mathrm{Q}$がある．以下の問に答えなさい．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の最大値を求めなさい．また，その時の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標の組を求めなさい．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の最小値を求めなさい．また，その時の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標の組を求めなさい．

(3)　点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が一直線上にないとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めなさい．また，その時の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標の組を全て求めなさい．

【３】　座標平面上の$x>0\text{，}$$y>0$である格子点$\text{（}x$座標と$y$座標がともに整数である点）に，図のように$1$から順番に自然数を配置していき，$10$以降の自然数も同様のルールで配置していく．以下の問に答えなさい．

(1)　$1$以上の整数$n$に対し，格子点$(n,1)$に配置された自然数を$n$を用いた式で表しなさい．

(2)　$160$が配置される格子点の座標を求めなさい．

(3)　$1$以上の整数$n$に対し，格子点$(1,1)\text{，}$$(2,1)\text{，}$$(3,1)\text{，}\cdots \text{，}$$(n,1)$に配置された$n$個の自然数の和を$n$を用いて表しなさい．

(4)　$2$以上の整数$n$に対し，$2\leqq i\leqq n$かつ$2\leqq j\leqq n$を満たす全ての格子点$(i,j)$に配置された自然数の和を$n$を用いて表しなさい．

【４】　正八角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_8$がある．一方，$8$枚のカードがあり，$1$枚目から順に${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{A}}_8$と書かれている．これらのカードの中から$3$枚を無作為に選び，正八角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_8$において，選ばれたカードに書かれた記号に対応する頂点を結んで三角形を作る．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　作られた三角形が直角三角形となるカードの選び方の総数を求めなさい．

(2)　作られた三角形が正八角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_8$と$2$辺を共有するカードの選び方の総数を求めなさい．

(3)　作られた三角形が二等辺三角形となるカードの選び方の総数を求めなさい．

(4)　作られた三角形が二等辺三角形であったとき，その三角形が正八角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\cdots {\mathrm{A}}_8$と辺を共有していない条件付き確率を求めなさい．

(5)　$8$枚のカードから$3$枚を無作為に選んで三角形を作り，さらに残りの$5$枚のカードから無作為に$3$枚選び，三角形をもう$1$つ作る．作られた$2$つの三角形の一部が重なる確率を求めなさい．

【５】　関数$f(x)=1-e^{-x^2}\text{，}$$g(x)=1-e^{-x}$について以下の問に答えなさい．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフについて，増減とグラフの凹凸を調べ，極値，変曲点，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$をすべて求めなさい．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲について，関数$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフを同一座標平面上に図示しなさい．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}x(1-e^{-x^2})\mathit{dx}$を求めなさい．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{2e}}<{\displaystyle {\int }_0^1}(1-e^{-x^2})\mathit{dx}<{\displaystyle \frac{1}{e}}$を示しなさい．

【５】　$t$は定数で，$0<t<1$のとき，関数$f(x)=x(x-1)(x-t)$によって与えられる座標平面上の曲線$y=f(x)$を考え，この曲線を$C$とする．点$\mathrm{P}$$(1,0)$を通る曲線$C$の$2$つの接線のうち，点$\mathrm{P}$における接線を$l_1\text{，}$$l_1$でないものを$l_2$とし，$y$軸と$l_1\text{，}$$l_2$の交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．このとき，以下の問に答えなさい．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$の値を$t$の式で表しなさい．

(2)　曲線$C$上の点$(a,f(a))$における接線の方程式を$t\text{，}$$a$を用いた式で表しなさい．

(3)　接線$l_1$の方程式を$t$を用いた式で表しなさい．

(4)　$\mathrm{▵PAB}$が$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$である二等辺三角形となるとき，$t$の値を求めなさい．

(5)　接線$l_2$と曲線$C$の接点を$\mathrm{Q}$とする．(4)のとき，曲線$C\text{，}$$y$軸，線分$\mathrm{BQ}$で囲まれた部分の面積と，曲線$C\text{，}$線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積の和を求めなさい．