2023　長崎県立大学　前期MathJax

【１】問１　$1\text{，}$$2\text{，}$$3$の$3$個の数字を用いて，$6$桁の数字を作る．$3$を用いる個数は，$1$と$2$を用いる個数より多いものとし，$1\text{，}$$2\text{，}$$3$のどの数字も少なくとも$1$個は用いるものとする．(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$3$を$4$個用いて作られる数字は全部で何個出来るか求めなさい．

(2)　全部で何個の数字を作ることが出来るか求めなさい．

【１】問２　(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$2^x+2^{-x}\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$を満たす$x$の値の範囲を求めなさい．

(2)　(1)のとき，$x^2-x+{\log }_{16}y=0$を満たす$y$の取る値の範囲を求めなさい．

【１】問３　$2$つの変量$x\text{，}$$y$について，標準偏差，共分散と相関係数が右の表のように与えられている．(1)，(2)に答えなさい．

(1)　共分散$a$の値を求めなさい．

(2)　変量$x$をすべて$2$倍してできる変量を$z$とするとき，$y$と$z$の相関係数を求めなさい．

【２】　$a$が実数の定数のとき，$x$についての関数$f(x)=(x+a)|x-a|$がある．次の問いに答えなさい．

問１　$a=1$のとき，(1)，(2)に答えなさい．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}$の値を求めなさい．

(2)　$y=f(x)$と$x$軸の共有点のうち，$x$座標が負の点における接線と$y=f(x)$とで囲まれる部分の面積を求めなさい．

問２　$a>0$のとき，$g(a)={\displaystyle {\int }_0^2}f(x)\mathit{dx}$とする．このとき，$g(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めなさい．

【３】　右の図のような正方形の$4$つの頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を移動する動点$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{Q}$は，最初は頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$個のさいころを$1$回投げるごとに，次の(ア)，(イ)，(ウ)にしたがって右の図のように時計回りに移動する．

(ア)　出た目が$1$のとき，点$\mathrm{Q}$は時計回りに$1$つ隣の頂点に移動する．

(イ)　出た目が$2\text{，}$$3$のとき，点$\mathrm{Q}$は時計回りに$2$つ隣の頂点に移動する．

(ウ)　出た目が$4\text{，}$$5\text{，}$$6$のとき，点$\mathrm{Q}$は時計回りに$3$つ隣の頂点に移動する．

　点$\mathrm{Q}$は，さいころを投げて移動した頂点から再びさいころを投げて次の頂点へ移動するものとし，これを繰り返すものとする．次の問いに答えなさい．

問１　さいころを$2$回投げる．$1$回目に投げた後に点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{B}$にあり，かつ$2$回目に投げた後に点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{A}$にある確率を求めなさい．

問２　さいころを$2$回投げる．$2$回目に投げた後に点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{A}$にある確率を求めなさい．

問３　さいころを$3$回投げる．$3$回目に投げた後に点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{A}$にある確率を求めなさい．

問４　さいころを$4$回投げる．$2$回目に投げた後に点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{A}$にあり，かつ$4$回目に投げた後にも点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{A}$にあるとき，点$\mathrm{Q}$が$1$回目に投げた後に$\mathrm{C}$にあった条件付き確率を求めなさい．

【４】　$n$が自然数のとき，$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$がある．

　数列$\{a_n\}$は，初項が$7\text{，}$公差が$5$の等差数列であり，数列$\{b_n\}$は，初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n=2b_n+n-4$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$を満たしている．次の問いに答えなさい．

問１　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$の式で表しなさい．

問２　数列$\{b_n\}$について，初項$b_1$の値と，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めなさい．

問３　数列$\{b_n\}$について，一般項$b_n$を$n$の式で表しなさい．

問４　和$(a_1+3)(b_2-1)+(a_3+3)(b_4-1)$$+(a_5+3)(b_6-1)+\cdots$$+(a_{2n-1}+3)(b_{2n}-1)$を$n$の式で表しなさい．

【５】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$があり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面上の点$\mathrm{P}$が，$3\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を満たしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えなさい．

問１　(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表しなさい．

(2)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めなさい．

問２　$2$点$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{GP}$が，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表しなさい．

問３　問２のとき，辺$\mathrm{OC}$上に点$\mathrm{R}$をとる．三角形$\mathrm{PQR}$が$\mathrm{PQ}$を斜辺とする直角三角形となるとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OC}}}$の値を求めなさい．

【６】　次の問いに答えなさい．

問１　(1)，(2)の定積分の値を求めなさい．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{2}x\mathit{dx}$　　(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sin 2x\sin x\mathit{dx}$

問２　$m\text{，}$$n$が自然数のとき，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sin mx\sin nx\mathit{dx}$の値を求めなさい．

問３　$a\text{，}$$b$が実数の定数のとき，$x$についての関数$f(x)=a\sin x+b\sin 2x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$がある．$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$で極小値$-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$をとる．(1)，(2)に答えなさい．

(1)　$a\text{，}$$b$の値を求めなさい．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれる部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．