2023　東北学院大学　前期A日程工学部MathJax

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$x^2-2ax+2-a=0$が異なる$2$つの正の実数解をもつ実数の定数$a$の範囲は$\text{(ア)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　$x>1$のとき，方程式${({\log }_{4}x)}^{{\log }_{2}x}=x$の解は$x=\text{(イ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　一般項が，$a_n=-n^2+16n-47$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$で表される数列$\{a_n\}$のうち，$a_n>0$となる項の和は$\text{(ウ)}$である．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=3\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}$を満たすとする．線分$\mathrm{CD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{E}$とするとき以下の問いに答えよ．ただし，$0<t<1$とする．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$で表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{E}$が辺$\mathrm{AB}$上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せ．

(ⅲ)　点$\mathrm{E}$が辺$\mathrm{AB}$上にあるとき，$\mathrm{▵ACE}$の面積$S_1$と$\mathrm{▵BDE}$の面積$S_2$の比$S_1:S_2$を求めよ．

【３】　放物線$C\text{：}y=x^2$と，$x=t$$\text{（}>0\text{）}$における$C$の接線$l\text{，}$および$l$に垂直で原点を通る直線$m$を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$l$と$m$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$C$と$l\text{，}$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}$$C$と$m$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1\text{，}$$S_2$をそれぞれ$t$の式で表せ．

(ⅲ)　$S_1+S_2$の最小値とそのときの値を求めよ．

【４】　$f(x)=e^{\frac{2}{3}\sin x}\cos x$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，変曲点は求めなくてよい．

(ⅲ)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．