2023　東北学院大学　前期B日程文系2月2日MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　整式$a^{2}bd+b{c}^{2}d-a{b}^{2}c-ac{d}^2$を因数分解せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅱ)　等式${\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{b}{\sqrt{3}+1}}=1$を満たす有理数$a\text{，}$$b$を求めよ．ただし，$\sqrt{3}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅲ)　$\sin A={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{11}}}\text{，}$$\mathrm{AB}=2\sqrt{11}\text{，}$$\mathrm{BC}=7$である鋭角三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{AC}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅳ)　放物線$y=x^2-3x+1$を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x+\left|x\right|}{2}}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　この関数のグラフと放物線$y=-x^2+6$との交点の座標を求めよ．

(ⅱ)　不等式$-2x^2+12\leqq x+\left|x\right|$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

【３】　実数$x$を超えない最大の整数を$\left[x\right]$と表すとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　実数$x$と整数$n$に対して，$[x+n]=\left[x\right]+n$を示せ．

(ⅱ)　実数$x$と正の整数$n$に対して，$\left[{\displaystyle \frac{\left[x\right]}{n}}\right]=\left[{\displaystyle \frac{x}{n}}\right]$を示せ．

【４】　関数$f(x)=2x^2-6x+5$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　点$(0,-3)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線のうち，傾きが正である接線$l$の方程式を求めよ．

(ⅲ)　放物線$y=f(x)\text{，}$接線$l$および$y$軸によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【５】　数直線上の点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$から出発し，硬貨を投げて表ならば$+1\text{，}$裏ならば$-1$だけ動く．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　硬貨を$10$回投げて，点$\mathrm{P}$がちょうど原点$\mathrm{O}$にある確率を求めよ．

(ⅱ)　硬貨を$8$回投げて，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$に$4$回戻ってくる確率を求めよ．

(ⅲ)　硬貨を$6$回投げて，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$に$2$回だけ戻ってくる確率を求めよ．

【６】　数列$\{a_n\}$に関して，初項は$2$で，各項の逆数を並べてできる数列$\left\{{\displaystyle \frac{1}{a_n}}\right\}$は公差$d$の等差数列となる．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_n$を$n$と$d$を用いて表せ．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の初項から第$3$項までの和が$4$である．このとき，$d$および$a_3$の値を求めよ．