2023　東北学院大学　前期B日程工学部MathJax

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅰ)　${(x+{\displaystyle \frac{1}{2x}})}^{10}$の展開式における$x^{-2}$の項の係数は$\text{(ア)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅱ)　赤玉$6$個と白玉$5$個が入っている袋がある．この袋から$4$個の玉を取り出すとき，赤玉と白玉がそれぞれ少なくとも$1$個含まれる確率は$\text{(イ)}$である．

【１】　次の各問題の$$に適する答えを，解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(ⅲ)　第$1$象限の角$\alpha$に対して，$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}$のとき，$\sin 4\alpha =\text{(ウ)}$である．

【２】　正の項からなる数列$\{a_n\}$が，$a_1=4\text{，}$${(a_{n+1})}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{(a_n)}^3\text{，}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$によって定められている．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_2\text{，}$$a_3$を$2$の累乗の形で表せ．

(ⅱ)　$b_n={\log }_2{a}_n$としたとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．また，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅲ)　$a_n>2^{257}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.30\text{，}$${\log }_{10}3=0.48$として計算せよ．

【３】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2$と，$C_2\text{：}y=-x^2+4x+a$がある．$a$は実数の定数である．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$C_1$と$C_2$が接するような$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$a$に対し，$C_1\text{，}$$C_2$の両方に接する直線$l$の方程式を求めよ．

(ⅲ)　(ⅰ)で求めた$a$と(ⅱ)で求めた$l$に対し，$C_1$と$l\text{，}$および$y$軸で囲まれる部分の面積$S_1$と，$C_2$と$l\text{，}$および$y$軸で囲まれる部分の面積$S_2$の比$S_1:S_2$を求めよ．

【４】　$f(x)=(1-x^2)e^{\frac{4}{3}x}$について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$-1\leqq x\leqq 1$の範囲で$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．ただし，変曲点を求めなくてよい．

(ⅲ)　$-1\leqq x\leqq 1$の範囲で$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．