2023　自治医科大　医学科１次試験MathJax

2023-12951-0101

2023　自治医科大　医学科１次試験

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【１】　整式 $A ： p x^{3} + q x^{2} - 2 x + r ，$ 整式 $B ： 3 x^{2} - 8 x - 3 ，$ 整式 $C ： 2 x^{2} - 7 x + 3$ とする $（ p ，$ $q ，$ $r$ は実数） $（ p \neq 0 ）．$

　整式 $A$ は整式 $B$ および整式 $C$ で割り切れる． $\frac{p + q + r}{5}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【２】　方程式

${\log_{x} (4 x^{2} - x - 6)}^{2}$ $- (5 + \log_{x} 2) \log_{x} (4 x^{2} - x - 6)$ $+ 3 \log_{x} 2 + 6 = 0$

$（ x > 0 ，$ $x \neq 1 ，$ $x$ は実数）

のすべての解の値の和を $S$ とする． $S$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【３】　方程式 $\sin^{2} x - \cos x + a = 0$ $（ a$ は実数）が実数解をもつためには，とりうる $a$ の値は $m ≦ a ≦ M$ の範囲になければならない． $\frac{5 | M |}{| m |}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【４】　自然数 $N ，$ $a$ について考える．

　 $N = 6 \times 10^{330} + 5 \times 10^{212}$ $+ 7 \times 10^{86} + 3 \times 10^{56}$ $+ 2 \times 10^{10} + 326$ であるとする．

　 $N + a$ が $4$ および $9$ の倍数となるとき， $a$ の最小値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【５】　 $β = \sqrt[3]{7 + 5 \sqrt{2}}$ であるとき， $β^{4} - 12 β$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【６】　複素数 ${(\frac{1 + \sqrt{3} i}{1 + i})}^{n}$ $（ i^{2} = - 1 ，$ $n$ は自然数）が正の実数となる最小の $n$ を $m$ とする．

　 $\frac{m}{8}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【７】　 $2$ 次方程式 $(a + 4) x^{2} - 2 a x + a + b = 0$ $（ a ，$ $b$ は整数， $a \neq - 4 ）$ は重解をもつものとする．

　 $b$ が最小値となる場合の重解を $x = p ，$ $b$ が最大値となる場合の重解を $x = q$ とする．

　 $p - q$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【８】　関数 $y = | x (x - 4) | + 2 | x - 4 |$ のグラフと直線 $L ： y = a x + 8$ $（ a$ は実数）が異なる $3$ つの点を共有するとき，とりうる $a$ の値の範囲は $m < a < M$ となる．

　 $| m + M |$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【９】　座標平面上における $y$ 軸に平行な $7$ 本の直線 $x = 1 ，$ $x = 2 ，$ $x = 3 ，$ $x = 4 ，$ $x = 5 ，$ $x = 6 ，$ $x = 7$ と $x$ 軸に平行な $5$ 本の直線 $y = 1 ，$ $y = 2 ，$ $y = 3 ，$ $y = 4 ，$ $y = 5$ について考える． $y$ 軸に平行な異なる $2$ 本の直線と $x$ 軸に平行な異なる $2$ 本の直線で構成される長方形および正方形のなかで，面積が $4$ となる場合の数を $k$ とする．

　 $\frac{k}{11}$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【10】　 $AB = 13 ，$ $BC = 14 ，$ $CA = 15$ である $▵ABC$ について考える． $▵ABC$ の面積を $S ，$ 外接円の半径を $R$ とする．

　 $\frac{2}{195} S R$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【11】　直線 $L ： y = a x$ $（ a$ は実数， $a \neq 0 ）$ と曲線 $C ： y = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ について考える．直線 $L$ と曲線 $C$ は異なる $3$ つの点で交わり，原点以外の $2$ つの交点の $x$ 座標はともに正の実数であるとする．直線 $L$ と曲線 $C$ で囲まれた $2$ つの部分の面積が等しくなるときの $a$ の値を $p$ とする． $9 p$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【12】　関数 $f (x) = (\log_{2} x - \sqrt{5}) (\log_{4} x + \frac{\sqrt{5}}{2}) (\log_{8} x - \log_{8} 2)$ について考える． $x > 1$ $（ x$ は実数）のとき，関数 $f (x)$ は $x = b$ で最小値 $m$ をとる． $| b^{3} + 162 m |$ の値を求めよ．

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【13】　曲線 $C_{1} ： y = e^{x} \sin x ，$ 曲線 $C_{2} ： y = e^{x} \cos x$ について考える． $- \frac{3 π}{4} ≦ x ≦ \frac{π}{4}$ $（ x$ は実数）のとき，曲線 $C_{1}$ と曲線 $C_{2}$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする． $\sqrt{2} \cdot S$ の値を求めよ．

$㋐ e^{\frac{π}{2}} + e^{- π}$ $㋕ e^{\frac{π}{2}} + e^{- \frac{3 π}{4}}$ $㋚ e^{\frac{π}{2}} + e^{- \frac{π}{2}}$ $㋟ e^{\frac{π}{2}} + e^{- \frac{π}{4}}$ $㋤ e^{\frac{π}{2}} + e^{- \frac{π}{8}}$ $㋩ e^{\frac{π}{4}} + e^{- π}$ $㋮ e^{\frac{π}{4}} + e^{- \frac{3 π}{4}}$ $㋳ e^{\frac{π}{4}} + e^{- \frac{π}{2}}$ $㋶ e^{\frac{π}{4}} + e^{- \frac{π}{4}}$ $㋻ e^{\frac{π}{4}} + e^{- \frac{π}{8}}$

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【14】　次の文章を読み，以下の問い（問題 $14 〜$ $17 ）$ に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　座標空間において $3$ 点 $A$ $(2, - 2, - 1) ，$ $B$ $(- 1, 2, 0) ，$ $C$ $(- 1, 2, 2)$ の定める平面を平面 $ABC$ とし，原点を $O$ とする．

Ⅰ　 $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ のなす角を $θ$ とする $（ 0 ° < θ < 90 ° ）．$ $\frac{| \vec{AB} | | \vec{AC} | \cos θ}{4}$ の値は $14$ となる．

$14$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

Ⅱ　 $▵ABC$ の面積を $S$ とする． $S$ の値は $15$ となる．

$15$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

Ⅲ　平面 $ABC$ に原点 $O$ から垂線 $OH$ を下ろす．点 $H$ の座標を $(p, q, r)$ としたとき， $25 (p - q + r)$ の値は $16$ となる．

$16$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

Ⅳ　四面体 $OABC$ の体積を $V$ とする． $6 V$ の値は $17$ となる．

$17$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【15】　次の文章を読み，以下の問い（問題 $18 〜$ $21 ）$ に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　数列 ${a_{n}}$ は， $a_{1} = 1 ，$ $a_{n + 1} - a_{n} = 3^{n}$ $（ n$ は自然数）を満たしている．

Ⅰ　 $a_{5} = 18$ である．

$18$

$㋐ 115$ $㋕ 116$ $㋚ 117$ $㋟ 118$ $㋤ 119$

$㋩ 120$ $㋮ 121$ $㋳ 122$ $㋶ 123$ $㋻ 124$

Ⅱ　 $a_{n}$ の一般項は $19$ $（ n$ は自然数）となる．

$19$

$㋐ \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2}$ $㋕ \frac{3^{n}}{2} - \frac{1}{2}$ $㋚ \frac{4^{n}}{2} - 1$ $㋟ \frac{5^{n}}{2} - \frac{3}{2}$

$㋤ \frac{6^{n}}{2} - 2$ $㋩ \frac{7^{n}}{2} - \frac{5}{2}$ $㋮ \frac{8^{n}}{2} - 3$ $㋳ \frac{9^{n}}{2} - \frac{7}{2}$

$㋶ \frac{10^{n}}{2} - 4$ $㋻ \frac{11^{n}}{2} - \frac{9}{2}$

Ⅲ　数列 ${b_{n}}$ $（ n$ は自然数）は， $b_{n} = \frac{a_{n}}{4^{n}}$ であるとする． $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ としたとき， $S_{n} = 20$ となる．

$20$

$㋐ \frac{1}{6} {(\frac{1}{4})}^{n} - \frac{3}{2} {(\frac{3}{4})}^{n}$ $㋕ \frac{1}{6} {(\frac{1}{4})}^{n} - \frac{3}{2} {(\frac{3}{4})}^{n} + \frac{1}{3}$

$㋚ \frac{1}{6} {(\frac{1}{4})}^{n} - \frac{3}{2} {(\frac{3}{4})}^{n} + \frac{2}{3}$ $㋟ \frac{1}{6} {(\frac{1}{4})}^{n} - \frac{3}{2} {(\frac{3}{4})}^{n} + 1$

$㋤ \frac{1}{6} {(\frac{1}{4})}^{n} - \frac{3}{2} {(\frac{3}{4})}^{n} + \frac{4}{3}$ $㋩ \frac{1}{6} {(\frac{1}{4})}^{n} - \frac{3}{2} {(\frac{3}{4})}^{n} + \frac{5}{3}$

$㋮ \frac{1}{6} {(\frac{1}{4})}^{n} - \frac{3}{2} {(\frac{3}{4})}^{n} + 2$ $㋳ \frac{1}{6} {(\frac{1}{4})}^{n} - \frac{3}{2} {(\frac{3}{4})}^{n} + \frac{7}{3}$

$㋶ \frac{1}{6} {(\frac{1}{4})}^{n} - \frac{3}{2} {(\frac{3}{4})}^{n} + \frac{8}{3}$ $㋻ \frac{1}{6} {(\frac{1}{4})}^{n} - \frac{3}{2} {(\frac{3}{4})}^{n} + 3$

Ⅳ　 $\lim_{n \to \infty} 3 S_{n} = 21$ となる．

$21$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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【16】　次の文章を読み，以下の問い（問題 $22 〜$ $25 ）$ に対する選択肢から最も適当なものを一つだけ選べ．

　関数 $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + k x + 5$ $（ k$ は実数）は， $x = α$ のとき，極大値をとり， $x = β$ のとき，極小値をとるものとする $（ α < β ，$ $α ，$ $β$ は実数）．

Ⅰ　 $k$ のとりうる値の範囲は， $k < c$ である． $\frac{c}{3} = 22$ となる．

$22$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

Ⅱ　極大値と極小値の差の絶対値が $4$ となるときの $k$ の値を $p$ とする． $\frac{p}{8} = 23$ となる．

$23$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

Ⅲ　 $k = p$ のときの関数 $f (x)$ の極大値を $q$ とする． $\frac{q}{5} = 24$ となる．

$24$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

Ⅳ　 $k = p$ のとき， $S = \int_{α}^{β} f (x) dx$ とする． $| S - 40 | = 25$ となる．

$25$

$㋐ 0$ $㋕ 1$ $㋚ 2$ $㋟ 3$ $㋤ 4$

$㋩ 5$ $㋮ 6$ $㋳ 7$ $㋶ 8$ $㋻ 9$

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