2023　自治医科大　医学科２次試験MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3-6x^2+ax-7$$\text{（}a$は実数定数，関数$f(x)$の定義域は実数全体，関数$f(x)$は連続関数）と$3$次方程式$x^3-6x^2+ax-7=0$$\text{（}a$は実数定数）について考える．$3$次方程式は複素数の範囲で常に$3$個の解をもつことが知られている$\text{（}2$重解は重なった$2$個の解，$3$重解は重なった$3$個の解として数えるものとする）．

　以下の設問に答えよ．

1)　$3$次方程式$x^3-6x^2+ax-7=0$$\text{（}a$は実数定数）が$p+qi$$\text{（}p\text{，}$$q$は実数，$q\ne 0\text{，}$$i^2=-1\text{）}$を解にもつならば，$p+qi$と共役な複素数$p-qi$もこの$3$次方程式の解となることを示せ．

2)　関数$f(x)$において，$f(M)>0\text{，}$$f(m)<0$であり，$x\geqq M\text{，}$$x\leqq m$のとき$f^{\prime }(x)>0$となる実数$M\text{，}$$m$$\text{（}M>0\text{，}$$m<0\text{）}$が存在することを示せ．

3)　$3$次方程式$x^3-6x^2+ax-7=0$は少なくとも$1$つの実数解をもつことを示せ．

　以下の設問4)，5)については設問1)，2)，3)の結果を証明なしに用いてもよい．

　複素平面上において，$3$次方程式$x^3-6x^2+kx-7=0$$\text{（}k$は実数定数）の$3$つの解を点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と表記するとき，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする三角形は，$1$辺の長さが$\sqrt{3}$の正三角形$\mathrm{ABC}$となる．

　以下の設問4)，5)に答えよ．

4)　$3$次方程式$x^3-6x^2+kx-7=0$の$3$つの解のうち，虚数解の個数が$2$となることを示せ．

5)　$3$次方程式$x^3-6x^2+kx-7=0$における$k$の値と$3$つの解を求めよ．