2023　自治医科大　看護学部MathJax

【１】[１]　$f(x)=\sqrt{4x^2+24x+36}-\sqrt{x^2-2x+1}$とする．

　$f(-1)=\text{ア}\text{，}$$f(1)=\text{イ}$である．また，$f(x)$は$x=\text{ウエ}$のとき，最小値$\text{オカ}$をとる．さらに，$f(x)=\text{ア}$かつ$x\ne -1$のとき，$x=\text{キク}$である．

【１】[２]　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{CA}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{DE}$の交点を$\mathrm{P}$に近い方から順に$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{AB}=3$のとき，$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}$である．さらに，$\mathrm{PR}={\displaystyle \frac{27}{5}}$とすると，$\mathrm{QR}={\displaystyle \frac{\text{サシ}}{\text{スセ}}}$である．

【１】[３]　$a$と$b$を$0$でない実数であるとする．次の空欄に当てはまるものを下の選択肢から選び，その番号を答えよ．

(1)　$a$と$b$がともに有理数であることは，$a+b$と$ab$がともに有理数であるための$\text{ソ}\text{．}$

(2)　$a$と$b$がともに無理数であることは，$a+b$と$ab$がともに無理数であるための$\text{タ}\text{．}$

(3)　$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}=0$であることは，$a$と$b$の少なくとも一方は無理数であるための$\text{チ}\text{．}$

(4)　$a+b$と$a-b$のうち，少なくとも一方が無理数であることは，$a$と$b$がともに無理数であるための$\text{ツ}\text{．}$

1．必要条件であるが，十分条件ではない

2．十分条件であるが，必要条件ではない

3．必要十分条件である

4．必要条件でも十分条件でもない

【２】　$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=12$の長方形$\mathrm{ABCD}$を$T$とする．$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$はそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を同時に出発し，$\mathrm{P}$は毎秒$1\text{，}$$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$は毎秒$2$で$T$の周上を反時計回りに移動する．出発してから$x$秒後の三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S(x)$とする．

　ただし，$0\leqq x\leqq 6$とし，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は時刻に応じて次図のような配置となる．

(1)　$S(2)=\text{アイ}\text{，}$$S(4)=\text{ウエ}\text{，}$$S(6)=\text{オカ}$である．

(2)　$0\leqq x\leqq \text{キ}$のとき，$S(x)=\text{ク}{x}^2-\text{ケコ}x+\text{サシ}$

$\text{キ}\leqq x\leqq \text{ス}$のとき，$S(x)=\text{セ}{x}^2-\text{ソタ}x+\text{チツ}$

$\text{ス}\leqq x\leqq 6$のとき，$S(x)=\text{テ}x+\text{ト}$

である．

(3)　$S(x)$は$x=\text{ナ}$のとき最小値$\text{ニヌ}$をとる．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{13}\text{，}$$\mathrm{CA}=1$であるとし，外接円を$C\text{，}$$\mathrm{\angle A}$の二等分線を$l$とする．$l$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}\text{，}$$l$と円$C$の交点のうち$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{E}$とする．

(1)　$\cos \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\text{アイ}}{\text{ウ}}}$である．また，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{エ}\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}}$であり，$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$である．

(2)　$\mathrm{BE}=\sqrt{\text{ケコ}}$であり，三角形$\mathrm{EBC}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{サシ}\sqrt{\text{ス}}}{\text{セ}}}$である．

(3)　$\mathrm{AE}=\text{ソ}$である．また，$\mathrm{\angle ADC}=\theta$とするとき，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\text{タ}\sqrt{\text{チツ}}}{\text{テト}}}$である．

【４】[１]

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{J}$の$10$文字の中から$4$文字を選んで並べてできる順列は$\text{アイウエ}$通りある．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{B}$の$10$文字の中から$4$文字を選んで並べてできる順列は$\text{オカ}$通りある．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{D}$の$10$文字の中から$4$文字を選んで並べてできる順列は$\text{キクケ}$通りある．

【４】[２]　文字$\mathrm{A}$が書かれたカードが$1$枚，文字$\mathrm{B}$が書かれたカードが$2$枚，文字$\mathrm{C}$が書かれたカードが$3$枚ある．文字はカードの一面だけに書かれている．この$6$枚のカードをよく混ぜ，文字の書かれていない面を上にして横$1$列に並べ，左から順にめくっていき，$\mathrm{A}$が出たところでめくるのをやめる．

(1)　カードを$1$枚しかめくることができない確率は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}\text{，}$すべてのカードをめくることができる確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が$1$枚ずつ表になる確率は${\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソタ}}}$である．

(3)　少なくとも$1$枚の$\mathrm{B}$が表になる確率は${\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}$である．