2023　青山学院大学　理工学部A方式MathJax

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{1}\text{2}\text{3}$

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{4}\sqrt{\text{5}}}{\text{6}}}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}={\displaystyle \frac{\text{7}}{\text{8}\text{9}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{10}}{\text{11}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\mathrm{OH}={\displaystyle \frac{\text{12}\sqrt{\text{13}}}{\text{14}}}$

(4)　四面体$\mathrm{OHBC}$の体積は${\displaystyle \frac{\text{15}\text{16}}{\text{17}\text{18}}}$である．

操作：硬貨を投げ，出た色と異なる色の石が机の上にあればその中の$1$個を取り除き，なければ出た色と同じ色の石を手元から机の上に$1$個置く．

　とくに，机の上に石が$1$個もなければ，次の回の操作では出た色と同じ色の石を手元から机の上に$1$個置く．

(1)　$3$回目の操作後に机の上に石がちょうど$3$個ある確率は${\displaystyle \frac{\text{19}}{\text{20}}}$である．

(2)　$6$回目の操作後に机の上に石がちょうど$2$個ある確率は${\displaystyle \frac{\text{21}\text{22}}{\text{23}\text{24}}}$であり，石が$1$個もない確率は${\displaystyle \frac{\text{25}}{\text{26}\text{27}}}$である．

(3)　$6$回目の操作後に机の上にある石が$2$個以下であったときに，$8$回目の操作後に机の上にある石も$2$個以下である条件付き確率は${\displaystyle \frac{\text{28}\text{29}}{\text{30}\text{31}}}$である．

$y=-x^2+4x$

を$C$とする．また，放物線$C$上に点$\mathrm{A}$$(4,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(p,-p^2+4p)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(q,-q^2+4q)$をとる．ただし，$0<p<q<4$とする．

(1)　放物線$C$の接線のうち，直線$\mathrm{AP}$と傾きが等しいものを$l$とする．接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を固定する．点$\mathrm{Q}$が$p<q<4$を満たしながら動くとき，四角形$\mathrm{OAQP}$の面積の最大値を$p$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた四角形$\mathrm{OAQP}$の面積の最大値を$S(p)$とおく．$0<p<4$のとき，関数$S(p)$の最大値を求めよ．

$y=-{\displaystyle \frac{\cos 3x}{{\sin }^{3}x}}$$\text{（}0<x<\pi \text{）}$

の増減と極値を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．

(2)　$a$を実数の定数とする．$x$についての方程式

$-\cos 3x={\sin }^{3}x$

が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<x<{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$の範囲に実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　不等式$0\leqq a_n\leqq {\displaystyle \frac{e-1}{n!}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，$a_n={\displaystyle \frac{e}{n!}}-a_{n-1}$であることを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{k!}}$を求めよ．