2023　青山学院大学　理工学部B方式MathJax

$3x^4-10x^3+a{x}^2-10x+3\mathrm{=}0$$\cdots$(＊)

を考える．ただし$a$は実数の定数である．

　$x=0$は方程式(＊)の解ではないので，以下$x\ne 0$とする．

(1)　$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおく．$x$が$0$でない実数を動くとき，$t$のとり得る値の範囲は

$t\leqq \text{1}\text{2}\text{，}$$\text{3}\leqq t$

である．また，

$x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=t^2+b$

とおくと$b=\text{4}\text{5}$である．

(2)　方程式(＊)を$t=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$の$2$次方程式として表せば

$\text{6}{t}^2-\text{7}\text{8}t+a-\text{9}=0$

となる．

(3)　$x$の方程式(＊)が実数解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲は

$a\leqq \text{10}\text{11}$

である．

(4)　$x$の方程式(＊)が相異なる$4$つの実数解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲は

$a<\text{12}\text{13}\text{14}$

である．

　平面$\alpha \text{：}z={\displaystyle \frac{k}{n}}$による四面体$\mathrm{ABCD}$の切り口の面積を$S(k)$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　平面$\alpha$と線分$\mathrm{AC}$の交点の座標と，平面$\alpha$と線分$\mathrm{AD}$の交点の座標を求めよ．

(2)　$S(k)$を$n\text{，}$$k$を用いて表せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}S(k)$を求めよ．

(1)　$C$を図示せよ．

(2)　原点を通る直線$y=kx$と$C$との共有点がちょうど$2$個となるような実数$k$の値の範囲を求めよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

(3)　図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．