2023　青山学院大学　経済学部B方式MathJax

【１】(1)　方程式${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^x+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^x-72=0$の解は$x=\text{1}\text{2}$である．

【１】(2)　曲線$y=x^3-9x^2+20x-12$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和は${\displaystyle \frac{\text{3}\text{4}\text{5}}{\text{6}}}$である．

【１】(3)　放物線$y=x^2-2ax+a^2+2a+6$について，次の問いに答えよ．

1．この放物線の頂点$\mathrm{P}$の座標は$(a,\text{7}a+\text{8})$である．

2．$a$がすべての実数値をとって変化するとき，頂点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}$を結ぶ線分$\mathrm{PO}$の中点$\mathrm{Q}$の軌跡は直線$y=\text{9}x+\text{10}$である．

【１】(4)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=8\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=7$とする．このとき，次の問いに答えよ．

1．$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{11}\text{12}\sqrt{\text{13}}$である．

2．$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径は$\sqrt{\text{14}}$である．

3．$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径は${\displaystyle \frac{\text{15}\sqrt{\text{16}}}{\text{17}}}$である．

4．$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}\text{，}$外心を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{IO}$の長さは${\displaystyle \frac{\sqrt{\text{18}\text{19}}}{\text{20}}}$である．

【２】(1)　$a\text{，}$$b$を定数とする．連立方程式$\{\begin{array}{l}5x+2x^{a-1}{y}^b=26\\ x-x^a{y}^{b-1}=0\end{array}$を満たす$(x,y)$の組のうち，$x$と$y$がともに自然数であるのは，$x$の値が小さい方から順に，$(\text{21},\text{22})\text{，}$$(\text{23},\text{24})$である．

【２】(2)　$x\text{，}$$y$が$4$つの不等式$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x+2y\leqq 10\text{，}$$4x+y\leqq 15$を同時に満たすとき，$xy$の最大値は${\displaystyle \frac{\text{25}\text{26}\text{27}}{\text{28}\text{29}}}\text{，}$最小値は$\text{30}$である．

【２】(3)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=8\text{，}$$\mathrm{\angle A}=120\mathrm{°}$とする．$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とし，頂点$\mathrm{B}$から$\mathrm{AD}$に下ろした垂線を$\mathrm{BE}$とするとき，$\mathrm{ED}$の長さは${\displaystyle \frac{\text{31}}{\text{32}}}$である．

【３】(1)　$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の番号を書いたカードが$1$枚ずつあり，このカードを並べて$4$桁の整数を作る．このとき，次の問いに答えよ．

1．$5$の倍数は$\text{33}\text{34}\text{35}$個である．

2．$2435$より大きい整数となる確率は${\displaystyle \frac{\text{36}\text{37}}{\text{38}\text{39}}}$である．

3．数字の並べ方を逆にしても$4$桁の整数となるものは$\text{40}\text{41}\text{42}$個である．それを，もとの並べ方の$4$桁の整数に加えるとき，各桁の数がすべて偶数となるものは$\text{43}\text{44}$個である．

【３】(2)　数列$\{a_n\}$は，$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}=a_n+2n+3$で定められる．

1．$a_1+a_2+\cdots +a_n$$={\displaystyle \frac{n(\text{45}{n}^2+\text{46}n+\text{47}\text{48})}{\text{49}}}$である．

2．$b_n=5^{a_n}$とする．$b_n>{100}^{35}$が成立するときの最小の$n$は$\text{50}\text{51}$である．ただし，${\log }_{5}2=0.4307$とする．

【４】　関数$f(x)=x^3+3x^2-9x+3$について，次の問いに答えよ．