2023　学習院大学　文(コア)学部MathJax

(1)　平面上に$2$点$\mathrm{P}$$(2,1)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(3,1)$がある．直線$\mathrm{OP}$と$x$軸のなす角度を$\alpha \text{，}$直線$\mathrm{OQ}$と$x$軸のなす角度を$\beta$とするとき，$\alpha +\beta$の値を求めよ．ただし，$0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0\leqq \beta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(2)　平面上に点$\mathrm{R}$$(1,8)$がある．正の実数$t$に対して，$\mathrm{R}$を通る傾き$-t$の直線を$L$とし，$L$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．長さの和$\mathrm{OA}+\mathrm{OB}$の最小値と，最小値を与える$t$の値を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

$\mathrm{A}(a,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,b)$

をとる．また，平面上の直線

$L\text{：}2x+3y=5$

を考える．

(1)　線分$\mathrm{AB}$が$L$と交わる確率を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$が$L$と平行である確率を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積が$6$であるとき，線分$\mathrm{AB}$が$L$と交わる確率を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は平面の原点を表す．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

$C_1\text{：}y={(x-a)}^2+a^2\text{，}$$C_2\text{：}y=-{(x-b)}^2+b$

とする．$a$が実数全体を動くとき，$C_1$の通過する領域を$D_1$とする．同様に，$b$が実数全体を動くとき，$C_2$の通過する領域を$D_2$とする．

(1)　$D_1$を表す不等式を求めよ．

(2)　$D_2$を表す不等式を求めよ．

(3)　$D_1$と$D_2$の共通部分の面積を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　関数$y=3-|2x+1|-|2x-1|$のグラフをかけ．

(2)　$x\text{，}$$y$が$x^2+y^2=1$を満たしながら動くとき

$y+|2x+1|+|2x-1|$

の最小値と最大値を求めよ．また，最小値を与える$x\text{，}$$y\text{，}$および最大値を与える$x\text{，}$$y$を求めよ．