2023　学習院大学　理(コア),文(プラス)学部MathJax

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(1)　実数$\alpha$が

$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{5}}$

を満たすとき，$\sin \alpha$を求めよ．ただし，$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【１】　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

(2)　条件

$f^{\prime }(x)+{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}=2e^{2x}-e^x$かつ$f(0)=0$

を満たす関数$f(x)$を求めよ．ただし，$f^{\prime }(x)$は$f(x)$の導関数を表す．

【２】　最初の持ち点を$X_0$とし，以降$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，以下のように持ち点$X_{n-1}$から持ち点$X_n$を定める．ただし，$X_0=0$とする．

　さいころを振って，出た目を$a$とし，

$a=2$ならば$X_n=2X_{n-1}\text{，}$$a\ne 2$ならば$X_n=X_{n-1}+a$

とする．

(1)　$X_2=6$となる確率を求めよ．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$X_n$が$2$の倍数である確率を$p_n$とする．$p_n$と$p_{n-1}$の間に成り立つ関係を求めよ．

(3)　$p_n$を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　$z\ne -1$を満たす複素数$z$について

(条件)　${\displaystyle \frac{z-3-4i}{z+1}}$は純虚数である

を考える．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　実数$z$で(条件)を満たすものを求めよ．

(2)　(条件)を満たし，かつ$|z+1|=2$を満たす複素数$z_1\text{，}$$z_2$を求めよ．また，$z_1\text{，}$$z_2$について，それぞれの偏角${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2$を答えよ．ただし，$0\leqq {\theta }_1<2\pi \text{，}$$0\leqq {\theta }_2<2\pi$とし，$z_1\text{，}$$z_2$の解答の順序は問わない．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　平面上で不等式

$e^x+e^{-x}-4\leqq y\leqq 4-e^x-e^{-x}$

が定める領域を$D$とする．

(1)　$D$の概形を図示せよ．

(2)　$D$の面積を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が$D$内を動くとき，$x+y$の最小値と最大値を求めよ．また，最小値を与える$x\text{，}$$y\text{，}$および最大値を与える$x\text{，}$$y$を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．