2023　学習院大学　法(コア),国際社会(プラス)学部MathJax

【１】　平面上に

$\mathrm{AB}=2\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{5}\text{，}$$\mathrm{AC}=3$

を満たす三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，線分$\mathrm{AP}$の長さ$d$と三角形$\mathrm{ABP}$の面積$S$を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【２】　関数

$f(x)=2{\log }_{\frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-x)-{\log }_{\frac{1}{2}}(2-x)$

を考える．

(1)　$f(x)=0$を満たす実数$x$を求めよ．

(2)　不等式$f(x)>1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　大中小$3$つのさいころを同時に投げ，出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$がすべて$15$の約数である確率を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$がすべて異なる確率を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の最大値が$4$である確率を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は既約分数で答えよ．

【４】　$t$を正の実数とする．放物線$C\text{：}y=x^2$について，$C$上の点$\mathrm{P}$$(t,t^2)$における接線を$L$とする．$L$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$と$C$上の点$\mathrm{R}$$(-t,t^2)$を通る直線と$C$の交点で，$\mathrm{R}$とは異なる点を$\mathrm{S}$と表す．

(1)　直線$\mathrm{QR}$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{S}$の座標を求めよ．

(3)　$C$と直線$\mathrm{RS}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．