2023　学習院大学　推薦数学科MathJax

【１】　$3$個のサイコロを投げて，出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．出た目の積$abc$が，ある素数$p$に対して

$abc=p^4$

となる確率を求めよ．

【２】　実数$x>0$に対して，

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}t\sin t\mathit{dt}$

とおく．$f(x)$の極大値をすべて求めよ．

【３】　座標平面上の円

$C\text{：}{x}^2+{(y+1)}^2={\displaystyle \frac{5}{16}}$

上の点$\mathrm{P}$を$(a,b)$とする．点$\mathrm{P}$から放物線$D\text{：}y=x^2$にひいた$2$本の接線を$l_1\text{，}$$l_2$とし，$l_1\text{，}$$l_2\text{，}$$D$で囲まれる領域の面積を$S$とする．

(1)　$S$を$b$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，$S$の最大値を求めよ．

【４】　$2$つの関数

$f(x)={\log }_2|x+1|\text{，}$$g(x)={\log }_4|x+3|$

に対して，$y=f(x)$のグラフを$C_1\text{，}$$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$を座標平面上に図示せよ．また，$C_1$と$C_2$の交わる点の座標をすべて求めよ．

(2)　連立不等式$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$で表される領域において，$y$軸，$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【５】　実数$a$の整数部分を$[a]$とし，小数部分を$\{a\}$とする．すなわち$[a]$は$a$以下の最大の整数であって，$a=[a]+\{a\}$が常に成り立つ．等式

$4\sqrt{x}+\{x\}=9$

をみたす実数$x$を求めよ．