2023　学習院大学　理(プラス)学部MathJax

【１】　袋$\mathrm{A}$には白玉$3$つと赤玉$5$つが入っていて，袋$\mathrm{B}$には白玉$4$つと赤玉$3$つが入っている．

(1)　袋$\mathrm{A}$から玉を$1$つ，袋$\mathrm{B}$から玉を$2$つ取り出したとき，取り出した$3$つの玉が，白玉$2$つ，赤玉$1$つである確率を求めよ．

(2)　袋$\mathrm{A}$から$1$つの玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に移し，次に袋$\mathrm{B}$から$2$つ玉を取り出す．袋$\mathrm{B}$から取り出した玉が$2$つとも赤であるとき，袋$\mathrm{A}$から袋$\mathrm{B}$に移した玉が赤である確率を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．また，答えが分数になる場合は既約分数で答えよ．

【２】　$i$を虚数単位とする．

(1)　複素数${\displaystyle \frac{3+15i}{3+2i}}$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$を満たすとする．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【２】　$i$を虚数単位とする．

(2)　$x$を実数とする．複素数

$z={(x^2-1+xi)}^3$

が正の実数になる$x$をすべて求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．

【３】　正の実数$t$に対し，平面上の曲線

$C\text{：}y=t{x}^2-(4t-2)x+4t-1$

を考える．

(1)　$C$は$t$の値によらず，平面上のある点を通る．その点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$における$C$の法線$L$の方程式を求めよ．

(3)　$C$と$L$の交点で，$\mathrm{P}$とは異なる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(4)　$C$と$L$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

　この問題については，解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと．

【４】　正の実数$x$に対して

$f(x)={({\log }_{2}x)}^2-x$

と定める．以下では，$e$は自然対数の底を表すものとする．また，$2<e<3$が成り立つことを用いてよい．

(1)　$f(2^m)=0$を満たす自然数$m$を$2$つ求めよ．

(2)　$x$が$x>e$を満たすとき，$f^{″}(x)<0$であることを示せ．ただし，$f^{″}(x)$は$f(x)$の第$2$次導関数を表す．

(3)　$f(n)>0$を満たす自然数$n$の個数を求めよ．

　この問題については，答えだけではなく，答えを導く過程も書くこと．